周期二进制序列：唯一周期序列的生成

Question

我的问题是关于唯一模式的二进制序列计数

我了解如何计算使用特定位数生成的周期序列的数量（如上面的链接中所解决的）。

然而，我想知道是否有某种方法可以生成所有可能的唯一周期序列（不需要求解所有可能的排列）。例如：

给定3位数字，唯一的周期序列为：

000

100（相当于：010001）

110（相当于：011101）

111

因此，有四种可能的独特周期序列。我生成了使用所有可能的排列并将其简化为“规范”形式的排列。然而，给定12位数字，这将成为一项艰巨的任务。

因此，我想知道对于给定的比特数（或给定的周期），是否存在所有可能的唯一周期序列的一般表示，以便通过更改参数，我可以获得所有可能的惟一周期序列。

到目前为止，我发现了以下结果：

N位周期序列的定义函数定义为：

$f（k）=\sum_{j=1}^{N}a_j（e^{\frac{2\pi}{N} 我})^{jk}$

其中$i=\sqrt{-1}$和$k\在[1,2,3,4，…]$中。

为了找到合适的$a_j$，可以解决以下问题：

$\mathbf{E}\mathbf{a}=\text{矢量形式的1和0的任意组合}$

在这里：

$E_{jk}=（E^{frac{2\pi}{N} 我})^｛jk｝$（$j$和$k$是$[1，N]$中的整数）和$\mathbf｛a｝$将$a_j$集合为向量形式。

有趣的是：对于任何唯一的周期二进制序列，都会有一个与之相关的distnct$|\mathbf｛a｝|$（即一个向量，其分量的绝对值为$\mathbf｛a｝$，而不是其范数）。

它可以用于排列，但我不能继续定义单个参数或方程，这样会产生唯一的周期序列。（我相信有这样的人）

Answer 1

下面提供了周期序列，在0.2秒内有12位（使用C或编译函数可以大大改进）。其思想是通过考虑所有循环中对应于最大值的循环来定义规范形式。在以下方面数学软件代码，这是通过将位转换为十进制来完成的(From数字).

can[l_]：=块[{list}，lists=NestList[RotateLeft，l，Length[l]-1]；压扁@MaximalBy[列表，FromDigits[#，2]&，1]]

例如罐[{1,0,1}]和罐头[{0,1,1}]两个返回{1,1,0}.

然后将所有二进制数从$0$转换为$2^{12}$并删除重复项就足够了：

PadLeft[#，12]&/@表格[can[Integer Digits[i，2]]，{i，1，2^12}]//删除重复项//绝对计时(* {{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0},{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1},{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0},{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0} ...*)

16位数字需要5秒钟（同样，它可以大大减少）。