单纯形上的投影可以计算如下。
这种情况下的拉格朗日公式如下：
$$左（x，\mu\right）=\frac{1}{2}{\left\|x-y\right\|}^{2}+\mu\left（\boldsymbol{1}^{T}x-1\right）\tag1$$
诀窍是隐式地保留非负约束。
因此，对偶函数如下所示：
\开始{align}g\左（\mu\right）&=\inf_{x\suckeq 0}L\左（x，\mu\right）&&\text{}\\&=\inf_｛x\succeq 0｝\sum_｛i=1｝^｛n｝\left（\frac｛1｝｛2｝｛\left）｛x｝_{i} -{y}（y）_{i} \右）}^{2}+\mu｛x｝_{i} \right）-\mu&&\text{组件形式}\tag2\结束{对齐}
利用组件明智的形式，给出了解决方案：
\开始{align}x_i^\ast=\左（y_i-\mu\右）_+\tag3\结束{对齐}
其中，解决方案通过投影包含非负约束${\mathbb{R}}_{+}$
通过找到$\亩$保持约束（注意，因为上面是等式约束，$\亩$可以有任何值，并且不限于非负性美元\lambda$).
目标函数（来自KKT）如下所示：
\开始{align}0=h\左（\mu\右）=\sum_{i=1}^{n}｛x｝_{i} ^{\ast}-1&=\sum_{i=1}^{n}{\left（{y}（y）_{i} -\mu\right）}_{+}-1\tag4\结束{对齐}
以上是分段线性函数$\亩$.
由于函数是连续的，但它是不可微的，因为它的分段性质理论说，我们必须使用无导数的方法来求根。可以使用二分法例如。
函数导数由以下公式给出：
$$\开始{align}\frac{\mathrm{d}}{\mathm{d}\mu}h\左｛y｝_{i} -\mu\right）}_{+}\\&=\sum_{i=1}^{n}-{\mathbf{1}}_{\left\{{y}（y）_{i} -\mu>0\right\}}\结束{对齐}$$
实际上，可以使用牛顿迭代法求解（因为落入两个截面之间的接合处的概率几乎为零）。
准确/精确解决方案
如果我们查看函数的值$h\left（\mu\right）=\sum_{i=1}^{n}{left（{y}（y）_{i} -\mu\right）｝_｛+｝-1$人们可以很容易地推断出计算精确解的方法：
在上面的参数中$\亩$取向量的值$ ｛y｝_{我}$边缘有附加值（值大于最大值$ {y}（y）_{我}$和最小值的较低值$ {y}（y）_{我}$).
通过迭代这些值，可以很容易地跟踪每边值大于的2个值$ 0 $然后降低$ 0 $（如果其中一个为零，则为$\亩$). 因为它是线性函数，我们有2个点，所以我们可以推断出模型的所有参数$y=a x+b$.比的最佳值$\hat{\mu}=-\frac{b}{a}$.
我编写了MATLAB代码，在数学堆栈交换问题2327504-GitHub.我扩展了该案例的方法美元\总额｛x｝_{i} =r，\；r>0$（伪半径）。
有一个测试将结果与通过CVX公司.
