如果$\theta$的MLE是$\tha{\theta}=\frac{1}{\bar{X}}$，那么渐近方差$\toperatorname{Var}（\tha{theta}）$是多少？

Question

例如，我们可以将其作为发行版$f_X（X）=θe^{θX}$.在这种情况下，它是一个指数分布，我们的参数会是通常的吗$\beta=\frac{1}{\theta}$,$\运算符名称｛Var｝（\widehat｛\beta_\text｛MLE｝｝）=\frac｛\sigma^2｝｛n｝$很容易计算，但因为这里$\hat{\theta}=\frac{1}{\bar{X}}$，倒置X美元$是什么让它变得棘手。。。（我不知道怎么计算$\operatorname{Var}（\frac{1}{\bar{X}}）$)

非常感谢你！

Answer 1

如果$（Y_k）$是i.i.d.标准指数，即PDF$$f（Y）=e^{-Y}\mathbf 1_{Y>0}$$，那么对于每个$n\geqsleat1$，$T_n=Y_1+\cdots+Y_n$有PDF$f_n（T）=frac{T^{n-1}}{（n-1）n）^{-1}\right）=\frac1{n-1}$$，对于每个$n\geqsleat3$，$$e\left（（T_n）^}-2}\rift）=\frac1{（n-1）（n-2）}$$因此$$\mathrm{Var}\left（（T_n）^{-1}\right）=\frac1{（n-1）^2（n-2右）=frac{n^2\theta^2}{（n-1）^2（n-2）}$$

Answer 2

假设$\bar{X}$是数据的平均值，使用CLT假设，我们得到$\bar}X}$与平均值$\mu$和方差$\frac{\sigma^2}{n}$渐近正态。然后您可以估算：

$$\压裂{1}{\bar{X}}\近似\压裂{1}{\mu}-\frac{1}{\mu}（\bar{X}（X）-\mu）+\frac{1}{\mu^2}（\bar{X}（X）-\μ）^2+$$

现在继续计算方差，方法是将上述各项平方，并将各项保持在$X^2$的范围内。

$$E[\frac{1}{\bar{X}^2}]\approxix\frac}1}{\tu^2}+\frac{1{\mu^2}\frac{\sigma^2}{n}+\frac{1}}{\tum^3}\sigma ^2/n+O（1/n^2）$$

$$E[1/\bar{X}]\大约1/\mu+\frac{\sigma^2/n}{\mu^2}$$

这将为您提供$\mbox{Var}（\theta）$的近似值。请注意，如果$\bar{X}$完全正常，那么$1/\bar{X}$的期望和方差实际上会爆炸，因此您需要一些强有力的假设，要么$\bar}$有界远离零，要么在0附近衰减得足够快。