多变量函数有多“混乱”？

Question

在微积分课上，我们被告知通过一些路径不能保证限制的存在，例如：在这里可以看出，在下面的示例中，很容易看出有$2$路径似乎在一种情况下指向极限为$0$，而在另一种情况中指向极限为$1$，因此它不存在。

$$f（x，y）=\压裂{2xy}{x^2+y^2}\四元f（0,0）=0$$

但我们讨论的对象是连续函数，除了点$（0,0）$或其他战略位置点。从直觉上看，一个人可以接近$（0,0）$到$2$或一些“低”数量的不同路径，并有不同的可能限制，这似乎是合理的，但一个人可以有一个函数，例如，对于$278$路径，可能限制是不同的。

我不确定这些讲座是否试图考虑到多变量函数的全部通用性，但似乎荒谬的是，$2-$variable函数会有如此混乱的情况结构这实际上允许它有任意数量的路径，这些路径建议（每一个）不同的可能限制。但我不知道当变量的数量大于$3$时该说什么/该想什么。

编辑：有有趣的相关子问题我忘记添加：

1. 我们是否可以用所有直线和极坐标测试极限的存在性，获得这些测试的可能极限$L$，但函数有另一条路径，使得此路径的可能极限不同于$L$？

2. 上面的问题令人沮丧：难道没有最低限度曲线族给出的路径数，其中所有曲线的可能极限为$L$，这实际上保证了极限为$L$？我提出这个问题是因为看起来极其举例来说，给出的反直观方法对所有直线、所有抛物线和极坐标都进行了可能的极限$L$测试，仍然可能有一条路径给出不同于$L$的可能极限。

Answer 1

表现不佳的函数的鼻祖是$e^{1/x}$。即使在一维中也很奇怪（在原点有所谓的“本质奇点”），但在二维或复杂平面中，我们确实看到了一种奇异的存在：

根据皮卡德大定理,$e^{1/z}$（视为复数的函数$z（美元）$)采用除$0$在原点的任何邻域中无限多次$z=0$远离原点，它是完美的、流畅的和分析性的。

我们可以通过观察$$Re\left\{\exp\left（\frac{1}{（x+iy）}\right）\right\}=\exp\leaft$$在x-y平面上。从皮卡德大定理可以看出，这个函数在原点的任何邻域中都会无限次地获得除0以外的所有值，但在其他地方都是光滑的。沿着指向原点的路径检查此函数会得到任意的野生曲线。

Answer 2

当我们沿着斜率$m$的线$y=mx$接近原点时，请考虑您的函数。

$显示样式f（x，mx）=\frac{2x（mx）}{x^2+（mx$

所以函数沿着这条线是常数，等于它在原点的极限。很容易看出，当我们改变$m$时，我们会得到一个无限的数字或限制来选择。

当我们接近奇点时，你能想出一个只有有限多个极限的连续函数吗？

Answer 3

除了已经给出的所有美丽的例子之外，我想指出，即使沿着“路径”接近，也不一定意味着存在极限。这种现象并不是高维粒子的特性，它只可能发生在一维。

例如，考虑函数\开始{align*}f： \mathbb R\ to \mathbbR，\x\mapsto\begin{cases}\frac{1}{x}\sin（\frac}{x{），&x\neq 0，\\0，&x=0.\end{cases{\结束{align*}这个函数在0附近是如此的平均，以至于对于每个实数$\alpha$，都可以找到一个收敛到0的实数序列$（x_n）$，从而使$f（x_n）$收敛到$\alfa$。即使选择$\alpha=\pm\infty$。

然而，在一维中，我们有一个很好的事实，即如果存在某些$x$的左右极限并与$f（x）$重合，那么$f$在$x$处是连续的。这在两个维度上不再成立。第一个明显的原因是，这里不仅有“右”和“左”，还可能有一些“上”或“下”，或者任何你可以接近的疯狂方向。然而，如果沿着任何一条直线存在接近某点$（x，y）\in\mathbb R\times\mathbbR$的极限，并且这些极限相等，并且与$f（x，y）$重合，则$f$在$（x、y）$处仍然不必是连续的。例如，考虑\开始{align*}f： \mathbb R\times\mathbb R到\mathbbR，\（x，y）\mapsto\begin{案例}1，&（x，y）=t（\cos（t），\sin（t））\text{对于某些}t>0，\\0，&\text{别处}。\结束{cases}\结束{align*}$t>0$的点$t（\cos（t），\sin（t））$描述了从$（0,0）$发出的螺旋。。。

……而$f$对于螺旋上的点是$1$，否则是$0$。如果现在沿着从平面上某点开始的直线接近$（0,0）$，那么这条直线只会与螺旋线接触有限多次，因此$f$的极限为0，这与$f（0,0$）一致。但$f$在$（0,0）$处显然不是连续的，因为沿着螺旋线本身，极限是1。

Answer 4

这里有很多很好的例子，但有一点没有提到：你应该不t考虑限制$（x，y）\到（0,0）$路径，但就社区当你觉得有义务测试路径的收敛性时，你必须测试比宇宙中原子多的路径（即使定义这组路径也是一项艰巨的任务），以测试$\lim_{（x，y）\to（0,0）}f（x，y）=L$的单个实例，然而，就邻域而言，您必须根据不等式建立一个简单的$\epsilon/\delta$关系：您必须确定对于每个给定的$\ε>0$，都有一个$\delta>0$以便$0<|（x，y）\|<delta$表示$|f（x，y）-L|<\epsilon$。

Answer 5

这里有一个令人心驰神往的功能：$$f（x，y）=\开始{案例}1&（x，y）\in\mathbb{R}^2\setminuse\mathbb}Q}^2\\0 & \;（x，y）不在\mathbb{R}^2\setminus\mathbb{Q}^2\\end{cases}中$$试着想想你的函数在原点周围的任何球中做什么。

Answer 6

这里有一个与您的问题相关的有趣练习：假设您有一个函数$f（x，y）$。如果沿原点连续每一个（连续）通过原点的路径，那么实际上它在原点必须是连续的（作为两个变量的函数）。换句话说，如果函数失败要在原点处保持连续，可以通过原点构造一条（连续的）路径，沿着该路径函数无法保持连续。

Answer 7

事实上，情况相当糟糕。例如，考虑函数

$$f（x，y）=\frac｛x｝｛\sqrt｛x^2+y^2｝｝｝$$

这是$\mathbb{R}\setminus\{（0，0）\}$上的一个连续函数，它在从原点发出的任何光线上都是常数，因为对于所有$t>0$和$（a，b）\neq（0,0）$，我们都有

$$f（t（a，b））=\frac{ta}{\sqrt{t^2a^2+t^2b^2}}}=\frac{a}{\scrt{a^2+5^2}{}=f（a，b）$$

因此，如果您通过所有可能的光线接近原点，您将得到$[-1,1]$中的任何可能限制。注意，在极坐标中，$f$的形式更具几何意义

$$f（r，θ）=\cos\theta$$

事实上，您在文章中介绍的函数也遇到了同样的问题，因为在极坐标系中，它被指定为$f（r，θ）=\sin（2\theta）$。

Answer 8

考虑一条曲线$$y=K/\ln x$$或$$x=\exp（K/y）$$对于负常数$K$。当然，$y$对于$x\到0^+$接近$0^+$。

当沿着该曲线接近$（0,0）$时，函数：$$f（x，y）=x^y$$有价值$$x^{K/\ln x}=\exp（\ln（x^{K/\lin x}））=\ exp（（K/\inx）\ln x）=e^K=\text{const.}$$或者，另一种方式：$$\exp（K/y）^y=e^{压裂基岩\cdot y}=e^K=\text{常量}$$因此，当从第一季度的内部接近时，一个简单的$$x^y$$在点$（0,0）$ANY的限制范围为$（0,1）$。当沿着$X$或$Y$轴逼近时，我们分别获得$1$或$0$作为$X^0$或$0 ^Y$的极限。因此，函数$（x，y）\mapsto x^y$具有连续的路径限制，即$（x、y）=（0,0）$。

PS。
但我不会这么说凌乱... :)