非负整数解的个数是否有封闭形式 $（x_1，x_2，\cdot，x_k）$ 属于 $$x_1+2x_2+3x_3+\cdots+kx_k=n$$ 对于给定的 $k\in\Bbb{N}$ ?
我如何严格地证明这些公式？
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2 $\开始组$ 您要求将$n$的分区数分成大小为$\leq-k$的部分。 不要认为所有的$n，k$都有一个封闭的公式。 但是对于每个固定的$k$，这个数字可以计算为形式幂级数$\dfrac{1}{左（1-t\right）\left（1-t^2\right）\ cdots\left（1-t^k\right）}$的$t^n$-系数，它应该成为一些标准方法的牺牲品（如果我没记错的话，它满足线性递归？）。 $\端组$ – 达里杰·格林伯格 评论 2016年12月11日2:50 -
1 $\开始组$ 可以证明$x_i$，$1\leq i\leq k$的多项式等于广义斐波那契数的第$n$项，如$$\sum_{（x_1，x_2，\cdots，x_k）}\left（\beart｛array｝｛c｝x_1+\cdots+x_k\\x_1，\cdots，x_k\end｛array｝\right）=f_n\，.$$ 其中求和是满足$$x_1+2\，x_2+3\，x_3+\cdots+k\，x_k=n\，.$$的非负整数 $f_n$是广义斐波那契数列，如下$$f_n=\sum_{i=1}^kf_{n-i}\quad，\quad（f_0，\cdots，f_{k-2}，f_}-k-1}）=（0，\cdot，0,1）\$$ $\端组$ – 阿明235 评论 2016年12月15日15:40 -
$\开始组$ 参考文献包括 广义斐波那契数列 和 组合法 . $\端组$ – 阿明235 评论 2016年12月15日15:41
2个答案
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$\开始组$ 如果我们替换$x_k=y_1$，$x_k+x_{k-1}=y_2$，最后是$x_k+\cdots+x_2+x_1=y_k，$然后$n=y_1+y_2+\cdot+y_k、$其中$0\le y_1\le y_2\le\cdots\le y_k。因此，实际上我们需要的是$n$可以在不考虑顺序的情况下写成$k$非负整数之和的方法。 我说得对吗？ 有没有不使用生成函数来实现这一点的方法？ $\端组$ – 大黄蜂 评论 2017年1月12日5:42
