具有不相交开球的连通度量空间

Question

设$X$是$S^1$或其连接子集，并赋予标准度量。那么每个开集$U\subseteqX$都是开弧的不相交并，因此是开球的不相交并集。这个属性还有其他度量空间吗？也就是说：你能举一个连通度量空间的例子吗？这样每个开集都是不相交的开球的并集，并且它不同胚于$S^1$的子空间吗？

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编辑：尽管大多数人留下的问题比给出的答案要多，但还是有一些评论：

如果X$中的$a，b\，$a\ne b$，则$\lambda>0$的闭集$\partial b（a，r）$，$0<r<d（a，b）$和$\{X\ in X\midd（a，X）=\lambda d（b，X）\}$为非空，因为$X$已连接。关于$r\to0$或$\lambda\to\infty$可以说些什么吗？例如，$X$是路径连接的吗？

我写了“同胚到$S^1$的子空间”，主要是“同胚到点，开/半开/闭有界区间，或$S^l$-like”的缩写。然而，相同的topological空间可能具有一个度量的不相交球性质，而不具有另一个（有界）度量的不相交球性质。例如，在$S^1\subset\mathbbR^2$中，$d\bigl（（x，y），（u，v）\bigr）=\sqrt{4（x-u）^2+（y-v）^2}$，$y>0$给定的连通开集不是一个球：唯一的候选值是$B\left（（0,1），\sqrt5\right）$，但它包含$（0，-1）$。

难道$d$一定是有界的吗$对于某些索引集$i$，$X_i\，$r_i>0$，X\setminus\{X\}=\bigcup_{i\ in i}B（X_i，r_i）$。对于$\epsilon>0$，球$B（x，\epsi隆）$必须与每个$B（x_i，r_i）$相交，因为$x$是连接的，因此对于i$中的所有$i\和i\}$中的$d（x，y）\le2\sup\{r_i\midi\，$d（x，x_i）=r_i$。因此，如果$X\setminus\{X\}$对于某些$X$只有有限多个组件，那么$d$是有界的。但是$X\setminus\{X\}$是否可以为所有$X$提供无限多的组件？断然的在来自的评论之后塞尔奇克：$X$本身是一个球$B（X_0，r）$，因此对于X$中的$X，y\，$d（X，y）\le d（X，X_0）+d（X_0，y）<2r$。

假设一个点$x_0$看起来像一个有限分支，即有$n\in\mathbbN$，$n\ge3$和一个连续映射$h:\{1，\ldots，n\}\times[0，\epsilon）\to B（x_0，\ε）$，这样$d（x_0,h（i，t））=t$和$h|_{1\{1，\ ldots$是同胚。给定$\mathbf r=（r_1，\ldots，r_n）$和$0<r_i<\epsilon$，集合$U_{\mathbfr}=h\left（\bigcup_{i=1}^n\{i\}\times[0，r_i）\right）$是开的且连通的，因此有一个单独的开球$B（\hat x，r）$。设$x_i=h（i，r_i）$。通过$h$的连续性，我们得出$d（\hatx，x_i）=r$，$r_i$可以从$\hat x$和$r$中恢复为$r_i=\inf\{t\mid d（\hat x，h（i，t））\ge r\}=\sup\{t\mid d（\ hat x、h（i、t））<r\}$。检查$\phi_i\colon（\hat x，r）\mapsto r_i$在定义位置是否连续。这给出了从二维$\{1，\ldots，n\}\times（0，\epsilon）^2$的子集到$n$-维$（0，\ epsilen）^n$的连续和满射映射$（i，s，t）\mapsto（\phi_i（h（i，s），t））_i$。除非这是一个填空怪物（可能是吗？），否则我们得出结论，$X$不可能有分支点。（这太难看了，能不能让它变得更漂亮？或者把分支点定义为更友好？）

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编辑：与此同时，我相信长度空间具有不相交开球性质的是已知空间之一（即同胚于$S^1$的连通子空间）。那么，一个连通的度量空间距离长度空间有多远？这些想法能被转移吗？或者它们能给出反例的提示吗？

在下面，让$（X，d）$是一个具有不相交开球性质的连通长度空间。我们可以定义分支度（或者有这个的标准名称吗？）$\beta（x）$代表$x\x$中的$x\$x\setminus\{x\}$的连接组件的数量（可能是无限的）。

引理1:对于x$中的$x\，我们有$\beta（x）\le2$。

证明：假设$\beta（x）\ge3$，即$x\setminus\{x\}$在i$和wlog中连接了组件$U_i$、$i\$\{1,2,3\}\子结构I$。对于$i\in\{1,2,3\}$，在U_i$中选择一个点$x_i\}，并让$\rho=\min\{d（x，x_1），d（x、x_2），d。然后，对于$r<\rho$和$i\in\{1,2,3\}$，我们得到$U_i\cap B（x，r）$是连接的，因为到$x$的（近似）测地线路径不能离开连接的组件并停留在球内。此外，我们可以在U_i$中从$x$到$r$的距离处找到一个点$\。集合$$U:=（U_1\cap B（x，\rho））\cup。由于不同$U_i$中的点之间的路径必须通过$x$，因此我们得出结论：$R=d（x，y）+\rho$if$y\notin U_1$，$R=d（x，y）+\frac12\rho$if$y \notin U_2$，$R=d（x，y）+\frac13\rho$s if$y-notin U_3$。因为$y$最多是$U_1、U_2、U_3$中的一个，所以我们得出了一个矛盾$_\黑方$

我认为可以证明以下几点：

$Lemma2:$如果$a，b，c$是X$中的三个不同点$\，那么$X\setminus\｛a，b，c\｝$是不连通的。

证明：???

由于我还不确定引理2的证明，剩下的就只剩下手动阶段了：

假设x$中存在$x\，$\beta（x）=0$。然后$X$只是一个点，我们就完成了。

假设x$中存在$x\，$\beta（x）=2$。写$X\setminus\{X\}=U_1\cup U_2$并通过$$f（y）=\begin定义$f:X\to\mathbb R${案例}dU_1中的（x，y）和y$$我声称$f$是内射的，实际上应该可以用引理2或类似的结果来证明这一点。

然后我们剩下的情况是，对于所有$x$，$\beta（x）=1$。那么对于任何这样的点，$X\setminus\{X\}$都应该有一个点$y$，其中$\beta（y）=2$，因此$X\set minus\}X\}$“是”一个区间，我们得出结论，$X$是它的一个端点（或者可能是两个端点，即$S^1$）。或者，至少$X\setminus\{X，y\}$必须有一个点$z$，其中$\beta（z）=2$（通过引理2），因此$X\seteminus\}X，y\}$“是”一个区间，$X，y$是它的端点。

Answer 1

我对此有一些新的想法，太长了，无法发表评论。如果空间是路径连接的，我有一个验证草图，但只有当你能证明空间不能包含Y形图。

我将使用这样一个事实，即区间到度量空间的任何内射映射都是嵌入。

假设空间是路径连接的，在空间中选择$x，y$，并让$\alpha$是连接它们的弧。假设$\beta$是一条从$x$到$y$的路径（不一定是弧），它只与每个端点相交一次，并且不完全位于$\alpha$的图像中（如果存在这样的路径）。我声称$\beta$和$\alpha$只在端点$x$和$y$相交。否则，在$\alpha$和$\beta$的图像中都存在一个点$p$，使得$\epsilon>0$与$\beta（（beta^{-1}（p），beta^{-1-}（p）+\epsilen）$与$\ alpha$不相交。您选择$p$作为$x$之后的第一个点，$\beta$离开$\alpha$。

设$\gamma=\beta（[\beta^{-1}（p），\beta|{-1}（p）+\frac{1}{2}\epsilon]$。那么$\gamma\cup\alpha$是一个带有分支点的嵌入空间，这是不可能的，如上所述。

因此，任何从$x$到$y$的两条路径，每个路径只与端点相交一次，都必须是不相交的，除非它们的端点不相交。我们可以通过缩小它来选择$\beta$作为圆弧；它仍将与$A$分离。不可能有三个这样的弧，因为我们会得到另一个分支点。因此，如果有两个点存在两个这样的弧，那么这些弧必须是满射的，并且我们有一个圆。

如果每对点之间只有一条路径，则空间是沿着闭合区间粘贴的闭合区间的并集，是一个区间。

编辑：这只是一张草图；一些细节可能需要敲定。

Answer 2

我不知道一般度量空间会发生什么，这里有一个关于长度度量空间的证明。

定义。如果$X$的每个开放子集都等于$X$中一些开放度量球的不相交并集，则称度量空间$X=（X，d）$a为B-space。

注意，每个长度度量空间$（X，d）$满足以下两个属性：

a.$X$是本地路径连接的。（因为$X$中的开放球是路径连接的。）

b.每个闭合公制球$\bar b（a，r）=\{x\in x:d（a，x）\ler\}$等于相应开放球的闭合$B（a，r）=\{x\在x:d（a，x）<r\}$中。

我将使用符号$S（a，r）$表示公制球体$S（a，r）=\{x\ in x:d（a，x）=r\}$。

定理1。假设$X$是一个由超过1个点组成的$B$-空间，它满足（a）和（B）。那么$X$是一个拓扑一维流形（可能有边界）。换句话说，$X$同胚于$S^1$的连通子集。

证明。当$X$连接时，考虑这种情况就足够了。由于$X$是Hausdorff路径连接空间，因此它也是弧连接的，即$X$中的任何两点都属于弧，即同胚于闭区间的子集，参见

S.Willard，《一般拓扑》，Addison-Wesley 1970年。定理31.2。（比较讨论在这里.)

给定一个弧$\alpha\subset X$，它是同胚$f:[0,1]\to\alpha$的图像，让$\alfa^\circ$表示$f（（0,1））$，对应开弧.

由于$X$是局部连通的，每个$B（a，r）$包含一个唯一的包含$a$的最大开放连通子集，我将表示该子集$B_c（a，r）$。

引理1。每个开弧$\alpha^\circ$都是$X$的一个开子集。

证明。为了证明这一点，考虑$X$中每$r>0$一个开放的$r$-邻域$U_r（\alpha）$：$$U（\alpha，r）=\bigcup_{a\in\alpha}B（a，r）。$$此邻域将包含$\alpha$的开放连接子邻域：$$U_c（\alpha，r）=\bigcup_{a\in\alpha}B_c（a，r）。$$因为$X$是一个B空间，所以在X$中有点$a_r，半径$r=r（r）$$$U_c（\alpha，r）=B（a_r，r（r））。$$对于每个$r$，都存在$x_r\in\alpha$，因此$d（x_r，a_r）<r$。通过$\alpha$的紧致性，有一个序列$r_i\到0+$，如下所示$$x{ri}到α$$和$R（R_i）\到R（0）$。由于$\alpha$不是单元素，因此$R（0）>0$。

显然，$a_{r_i}\到$，$$\bigcap_{r_i}U_c（\alpha，r）=$$和$$\α=\bar{B}（a，R（0））。$$

我们由此得出结论，$\alpha\cap B（a，R（0））$是$X$的开放子集。从这里，我们看到$X$的子集，其中$X$是一维流形，在$X$中是稠密的（并且明显是开放的）。到目前为止，我们没有使用物业（b）。

索赔。我声称$\alpha^\circ\cap S（c，R（0））=\emptyset$。

证明。如果$\alpha^\circ\cap S（a，R（0））\n\emptyset$，则弧$\alfa$包含$S（a、R（0”）$的子区域$\beta$连接点，而不包含中心$a$。让$b\in\beta$是一个距离$a$最小的点；假设$a\notin\beta$，$\rho=d（b，a）>0$。由于$\alpha\cap B（a，R（0））$是$B（a），R（O））$的一维流形，因此点$B$不能是B（a、R（0，））$中任意序列$B_i\的极限，使得$（d（a，B_i）_{i\in{mathbb N}}$从左侧收敛到$d（a、B）$。这与属性（b）相矛盾（S（a，\rho）$中的点$b\不属于$b（a，\ rho）$.）qed（质量工程师）

该权利要求暗示$\alpha^\circ=\alpha\cap B（a，R（0））$，即$\alfa^\cic$在$X$中打开。这就完成了引理1的证明。qed（质量工程师）

引理1暗示$X$是开弧中每个点附近的一维流形。因此，假设X$中的$X\是一个不属于任何开弧的点。由于$X$不是单例，$X$是$X$中连接点$X$和$y$的一些非退化弧$\alpha\子集X$的端点。

引理2。我声称$\alpha-\{y\}$是$x$的邻域。

证明。如果不是，则存在序列$x_n\到x$，$x_n\notin\alpha$。由于$X$是局部弧连接的，因此对于所有足够大的$n\ge n_0$，都存在连接$X_n$到$X$的弧$\beta_n$，并且与$y$分离。引理1意味着对于所有$n\gen_0$，$\beta_n\cap\alpha=\{x\}$。因此，$\beta_n$和$\alpha$的级联$\gamma_n$是$X$中的一个弧（对于$n\ge n_0$），因此$X\in\gamma_n^\circ$。矛盾。qed（质量工程师）

结合引理1和2，我们看到$X$是一个一维流形（可能有边界）。qed（质量工程师）