拓扑空间的悬挂的连通性

Question

这个暂停拓扑空间$X$的$\Sigma X$定义为商空间$$\Simma X=\dfrac{X\times\left[0,1\right]}{\sim}$$其中，$（x，t）\sim（y，s）$当且仅当$s=t=0$，或$s=t=1$，或$（x、t）=（y、s）$。

对于每个空间$X$，$\Sigma X$是连接的还是简单连接的？证明它或构造反例。

直觉上，暂停会将$X\times[0,1]$的上下两侧挤压成两个点，并且$[0.1]$是连接的。因此，我认为它有可能被连接起来，并被简单地连接起来。但我不知道如何用数学语言证明它。

Answer 1

对于任何非空拓扑空间X美元$、暂停美元\西格玛X$是路径连接的，因此是连接的。要看到这一点，假设$[（x_1，a_1）]，[（x_2，a_2）]\在\西格玛x中$其中方括号表示一对的等价类$X\次[0,1]$在等价关系下美元\sim$.

这条路$p_1:[0，1]\至\西格玛X$,$p_1（t）=[（x_1，（1-t）a_1+t）]$连接$p_1（0）=[（x_1，a_1）]$和$p_1（1）=[（x_1，1）]$.

这条路$p_2:[0，1]\至\西格玛X$,$p_2（t）=[（x_2，1-t+ta_2）]$连接$p_2（0）=[（x_2，1）]$和$p_2（1）=[（x_2，a_2）]$.

作为$p_1（1）=[（x_1，1）]=[（x_2，1）]=p_2（0）$，路径的串联$p_1美元$和$p_2$给出了一条路径$p:=p_1\ast p_2$连接$[（x_1，a_1）]$和$[（x_2，a_2）]$.

另一方面，美元\西格玛X$不需要简单地连接。例如，如果$X=S^0=\{-1，1\}$（配备离散拓扑），然后$\西格玛S^0=S^1$这不是简单的连接。一般来说，$\西格玛S^n=S^{n+1}$然而，如果X美元$路径已连接，则美元\西格玛X$简单连接；这是根据Seifert-van Kampen定理.