连分式收敛的分子和分母的估计

Question

我正在阅读C.Odd关于连分式的教科书，在介绍性章节中，它介绍了$\k$收敛的分子和分母的公式，即$\k-1$收敛的分母和分子的公式。如果我们用$\p_k$和$\q_k$分别表示第$\k$个收敛的分子和分母，那么：

$\P_k$=（$a_k$\P_k-1$+$\P_k-2$）和$\q_k$=（$\a_k$\q_ k-1$+$\q-k-2$）。。。。。。。。。。。。。（A）

其中$\a_k$是连续分数阶梯中的最后一个数字。在通过归纳法证明它的同时，作者观察到，对于第$\k$+1次收敛，连分式阶梯中的最后一个数是$\a_k$+1/$\a_ k+1$，而不是$\ a_k$，因此在（a）中用前者代替后者，将生成一个表达式，该表达式可以被塑造为$\k$+1的相同函数。然而，$\a_k$是一个整数，而$\ a_k$+1/$\ a_ k+1$不是。那么，我们如何进行替换呢。作者提供了一个解释，但我不相信。有人能把它说清楚吗？

Answer 1

下面是一个示例，$\sqrt{29}.$的连分数最上面一行是“数字”，通常写为$a_i。$下一行是收敛，包括开始该过程的两个初始伪收敛，$0/1$和$1/0，$。您可以看到新收敛的分子和分母是如何由前两个收敛和“数字”指定的。对于收敛$p/q，最后一行是$p^2-29 q^2$$

我的主要建议是你自己做一些。

$$\小的\开始｛数组｝｛cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc& & 5 & & 2 & & 1 & & 1 & & 2 & & 10 & & 2 & & 1 & & 1 & & 2 & & 10 & \\\压裂{0}{1}&\压裂{1}{0}&&压裂{5}{1{&\压裂}{2}&&\压裂{16}{3}&&裂缝{27}{5}&&\裂缝{70}{13}&&\裂缝{727}{135}&\裂缝压裂{9801}{1820}&\压裂{101785}{18901}\\\\& 1 & & -4 & & 5 & & -5 & & 4 & & -1 & & 4 & & -5 & & 5 & & -4 & & 1 & & -4 \结束{数组}$$

你所需要做的就是一个计算器。以$\sqrt{29}开始，大约5.3851。取小数部分$0.3851，但立即取其倒数$1/0.3851大约2.5962$$$ 5.3852, 2.5963, 1.6770, 1.4770, 2.0963, 10.3852, 2.5963, 1.6771, 1.4769, 2.0969, 10.3164... $$正如你所见，即使我让计算器四舍五入到小数点后四位，我们也会发现不准确的地方开始蔓延；得出的数字1.6770和1.6771实际上是相等的。更明显的是，10.3852和10.3164实际上是相等的。

对于有理数的（有限）连分式的特殊情况，整个过程可以用欧几里德算法完成，避免了计算器错误。实际上，采用整数$a，b$并求解$ax-by=\pm\GCD（a，b）$的扩展GCD正好是$a/b的连分数，$将以最低的形式$p_n/q_n显示$a/b$，同时$p_nq_{n-1}-q_np_{n-1}=（-1）^{n-1neneneep，$这是Hardy和Wright中的定理150。对于他们来说，在上面的$\sqrt{29}中，编号是$p_0/q_0=5/1$，然后是$p_1/q_1=11/2。$这是可行的，$（-1）^{1-1}=1$和$11\cdot 1-2\cdot 5=1.$然后是$（-1-）^{2-1}=-1$和$16\cdot 2-3\cdot 11=-1.$很好，我担心编号中的奇数/偶数。

对于整数平方根或任何$\frac{A+\sqrt B}{C}的特殊情况，$有一种方法，主要是由于高斯和拉格朗日的缘故，可以避免计算错误。这里，（无限）CF在一两个不太重复的初始步骤之后是周期性的。。