在$n$such牌组的随机洗牌中找到完整牌组的概率？

Question

我在Reddit上问了这个问题，有人建议我可以在这里找到方向。

如果我取一副牌，其中有$k$张牌（都是不同的），并将该初始牌组的$n$精确副本混在一起（将其视为$n*k$牌的随机排列），那么如果我检查整个混排的$n*k$牌，我会在$k$连续位置中找到至少一组完整的$k$不同牌的概率是多少？

例如，如果初始牌组是$1,2,3$，而我洗牌了5张（总共15张牌），那么我在15张组合和洗牌牌组中的任意三个连续位置找到$1,2,3+或$2,1,3$或任何其他基本牌组排列的概率是多少？

我能够找到第一张包含$k$卡的完整初始卡组的$k$卡片的案例，但我无法涵盖任何$k$连续位置案例。

Answer 1

你从一个随机位置开始，后面有k-1张或更多的牌。你选择一张卡，然后你需要再选择k-1张卡，每张卡都与你之前选择的卡不匹配。

对于您选择的第二张卡，有nk-1卡可以选择，而n（k-1）卡与您选择的第一张卡不同。对于第三张卡，有nk-2卡可以选择，并且n（k-2）与您选择的前两张不同。等等。当你选择第k张牌时，有nk-（k-1）你可以选择，只有n张与之前的一张牌不匹配。

将所有（确定选项数）相乘，然后除以所有（可能选项数）。所有（确定选项数）的乘积是$n^{k-1}（k-1）！$。所有（可能的选择）的乘积是$（nk-1）！/（nk-k）！$。除法得到$n^{k-1}（k-1）！（nk-k）！/（nk-1）！$，这与$n^k k相同！（nk-k）！/（nk）！$（分子和分母乘以nk）。

Answer 2

我们需要从$n*k$的卡片中抽取k张卡片。第一张牌可以是任何牌，因为我们现在还没有任何牌，所以无论我们得到什么，都需要完成k张不同的牌组。

抽取1张不同卡片的概率为1

现在我们从$n*k-1$中抽出第二张牌，我们不希望n-1张牌与我们抽出的第一张牌的脸相同。

抽第二张牌的概率是

$（n*k-1-（n-1））/（n*k-1）=n*（k-1）/（n*k-1）$$

对于第三张卡，我们必须从$n*k-2$卡中提取，并且我们有$（n*k-2）-2*（k-2）$有利的情况

提取第三张卡的概率为

$（n*k-2-2*（n-1））/（n*k-2）=n*（k-2）/（n*k-2）$$

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第$i^{th}$次抽奖的概率为$（n*k-（i-1）-（i-1$$

我们的答案是所有这些从i=1到i=k的乘法

$$\prod_{i=1}^kn*（k-（i-1））/（n*k-（i-1））=n^k*k*｛k（n-1）｝！/{nk}$$