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$\开始组$

我看不出a的每一行与B的每一列相乘的具体原因。这是矩阵乘法函数的任意性质吗？

相反，我们为什么不简单地将矩阵A的第1行与矩阵B的第1行乘起来，这将有助于我们更容易地进行乘法，而不会混淆要用什么来乘法？在这种情况下，A（mxn）和B（kxn）的乘积将是P（mxk）。

我知道，如果我们这样定义乘法，今天的数学会发生很多变化。但这种方法在未来会引起任何问题吗？

$\端组$
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  • 7
    $\开始组$ 矩阵的乘法是线性映射的合成。矩阵不仅仅是一堆数字；它代表一个线性地图。如果你逐行相乘，那就不行了。 $\端组$
    – 帕特里克·史蒂文斯
    评论 2016年4月10日9:09
  • $\开始组$ 耶。。关键是这样定义它很有用，并且有很多属性。用另一种（更容易？）方式定义它不会 $\端组$
    – 蚂蚁
    评论 2016年4月10日9:12
  • $\开始组$ 用这样的乘法定义所有这些属性真的不可能吗？ $\端组$
    – 用户231642
    评论 2016年4月10日9:15
  • $\开始组$ @帕特里克·史蒂文斯（Patrick Stevens）很明显，如果我们改变乘法的定义，一些依赖于当前乘法方式的东西就行不通了。问题是，它们不能被重新创造吗。 $\端组$
    – 用户231642
    评论 2016年4月10日9:21
  • $\开始组$ 从$\mathbb{R}^n$到$\mat血红蛋白{R}^n$的每一个线性应用都可以用$n乘以n$矩阵来表示。然后，我们检查固定点$0$的旋转、对称、等轴测是线性变换。我们还观察到，如果一个矩阵是正交的，那么很容易求逆，并且正交矩阵正是那些保持$的矩阵\|^2$标准。并且每个线性方程组都简化为矩阵/向量方程。最后，矩阵的乘法与线性映射的构成相对应，这是我们所看到的对矩阵最自然的操作 $\端组$
    – 路透社
    评论 2016年4月10日9:30

2个答案2

重置为默认值
三
$\开始组$

如果我们将矩阵简单地视为数字表，那么我们可以定义许多可能的不同二进制操作，我们可以称之为“乘法”，只需使用此名称将此操作与加法（定义为相应元素的总和）区分开来。显然，不同的定义赋予了“复制”不同的属性，有些人在某些比赛中可能有用，但在其他比赛中则不然。

例如阿达玛积两个矩阵（定义为相应元素的乘积）是结合的、分配的和交换的，但只能定义为具有相同维数的矩阵，并且（据我所知）用于计算机图形。

这个Kroneker产品是另一种可能的乘法，它具有有用的性质，并且与线性变换的张量积有关，具有重要的应用。

通常的行-列积的优点是它可以表示向量空间之间线性变换的作用，并捕获这些变换的所有属性（线性、结合性、非交换性、中性元素和不可逆元素的存在性）。定义中有一些对流，从这个意义上说，我们可以选择左边的行和右边的列（像往常一样），或者反之亦然，但实际上这两种可能的替代方式给出了同构结构。

$\端组$
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  • $\开始组$ Hadamard和Kroneker的参考资料对我非常有用。谢谢。 $\端组$
    – 用户231642
    评论 2016年4月10日19:52
三
$\开始组$

假设有$x，y，z$是用$p，q$定义的，比如说，$$\eqalign{x&=3p+4q\cry&=5p-2q\crz&=-p+7q\cr}$$，还有$p，q$是用$a，b，c，d$定义的。你需要做的就是提取系数矩阵，然后将它们相乘：$$\pmatrix{3&4\cr5&-2\cr-1&7\cr}\pmatricx{4&-3&-2\cr9&5&-6&3\cr}$$乘积将给出$x，y，z$表达式中以$a，b，c，d$表示的系数。

另请参阅为什么历史上我们会像现在这样乘矩阵？

$\端组$

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