正态分布MLE的渐近方差。

Question

我试图明确计算（不使用MLE的渐近方差等于的定理CRLB公司)正态分布方差MLE的渐近方差，即：$$\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}（X_i-\hat}）^2$$我发现：$${\rm变量}（\hat{\sigma}^2）=\frac{2\sigma^4}{n}$$所以极限方差等于$2sigma^4$，但在这种情况下，如何证明极限方差和渐近方差是一致的？

Answer 1

您可以使用以下关系

$\text{极限方差}\geq\text{-渐近方差}\gerq-CRLB_{n=1}$

现在计算的CRLB$n=1$（其中n是样本量），它将等于${2σ^4}$即极限方差。因此，渐近方差也等于2美元\sigma^4$.

Answer 2

从MLE的渐近正态性和正态r.v的线性特性\开始{align}\sqrt{n}\left（\hat{\sigma}^2_n-\sigma ^2\right）\xrightarrow{D}\mathcal{n}\lert（0，\2\sigma^4\right）\\\左（\hat{\sigma}^2_n-\sigma ^2\right）\xrightarrow{D}\mathcal{n}\left（0，\\frac{2\sigma^4}{n}\right）\\\帽子{\sigma}^2_n\xrightarrow{D}\mathcal{n}\left（\sigma ^2，\\frac{2\sigma^4}{n}\right），&&n\to\infty\\&\结束{对齐}