$x_1+x_2+x_3+x_4<100有多少正整数解$

Question

$x_1+x_2+x_3+x_4<100有多少正整数解$

我知道如何处理这个问题，如果它是，$x_1+x_2+x_3+x_4=100$有多少个正整数解，它将是

${n-1\选择k-1}={100-1\选择4-1}={99\选择3}=156849$

但现在它包含了所有$100$以下的解决方案这一事实让我感到震惊。我该如何解决这个问题？

Answer 1

为此，您必须引入一个虚拟变量，比如$x_5>0$，使总和等于$100$。然后求积分解的个数，即：$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=100$，这只是${99\选择4}$

Answer 2

例如，将类似的解决方案从$4$相加到$99$。你会得到$$\sum_{k=3}^{98}\binomk3=\binom{99}{4}$$