求解反丢番图方程$\frac{1}{x_1}+\frac}{x_2}+…+\压裂{1}{x_n}+\压裂{1{x_1x_2…x_n}=1$

Question

我如何证明丢番图方程$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}}{x_2}+…+\frac{1}{x_n}+\frac{1}}{x_1x_2…x_n}=1$$最多有一个解决方案？所有$x_i$和$n$都是自然数。

我的尝试是：
例如，考虑$n=3$的等式：

$$\压裂{1}{x_1}+\压裂{1'{x_2}+\裂缝{1}}{x_3}+\frac1{x_1x_2x_3}=1$$然后$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3+1=x_1x_2标签{1}$$和\开始｛个案例｝x_2x_3+1等于0\pmod{x_1}\\x_1x_3+1等于0\pmod{x_2}\\x_1x_2+1等于0\pmod{x_3}\\\结束{cases}所以\开始{cases}x_2x_3=k_1x_1-1\\x_1x_3=k_2x_2-1\\x_1x_2=k_3x_3-1\\\结束{cases}替换（1）给这个$k_1x_1+k_2x_2+k_3x_3=x_1x_2x_3+（3-1）$$一般形式为$k_1x_1+k_2x_2+k_3x_3+…+k_nx_n=x_1x_2x_3…x_n+（n-1）$$我知道要解决这个问题，但$x_1x_2x_3…x_n$term是个问题。

Answer 1

假设您想要解决方案的数量（您称之为root，因此有点混淆）。

这不是真的，例如，如果$n=5$，则存在$3$解决方案。

\开始{align*}1&=\frac{1}{2}+\frac{1}}{3}+\frac}1}{7}+\fric{1}{43}+\frac{1{1807}+\ frac{1}{2\cdot3\cdot7\cdot43\cdot1807}\\&=\frac{1}{2}+\frac{1}}{3}+\frac{1{7}+\fric{1}{47}+\fac{1}[395}+\frat{1}[2\cdot3\cdot7\cdot47\cdot395}\\&=\frac{1}{2}+\frac{1}}{3}+\frac{1{11}+\fras{1}[23}+\frac}1}{31}+\frat{1}{2\cdot3\cdot11\cdot23\cdot31}\\\结束{align*}

Answer 2

假设$x_1，x_2…。，那么xr$就是一个解决方案$$\frac1 x_1+\frac1 x_2+…+\frac 1 x{r+1}+\frac1{x_1x_2…x{r+1}}=\\1-\压裂1{x_1x_2…x_r}+\压裂1x{r+1}+\裂缝{x_1x2…x{r+1}}=\\1+\压裂1x{r+1}-\压裂{x{r+1}-1}{x_1x_2…x{r+1}}=1$$

所以$$\frac1x{r+1}-\frac{x{r+1}-1}{x_1x_2…x{r+1}}=0$$$$x_{r+1}=1+x_1x_2…x_r$$解决方案是$$x_1=2，x_{r+1}=1+x_1x_2…x_r，1\ler n$$对于$n=1,2$，解决方案是唯一的（不考虑排列）。@Anurag说，对于每$n$，$n>2$，解决方案的数量并不是唯一的。