有多少个10美元的数字至少有5美元的不同数字？

Question

原则上，我把它当作第一个数字可以是零来解决，最后去掉那些以零开头的数字。

可以使用$4$特定数字（例如，$1$、$2$、$3$和$4$）的数字是$4^{10}$。可以使用任何$4$数字的数字是${10\choose 4}\cdot 4^{10}$

我说的是“他们可以使用”，但这并不意味着使用；然而，对于这个问题来说，这是非常有利的，因为“可以使用”的人包括使用$4$数字的四个数字，这些数字使用$3$到$2$，而使用只使用一个数字的人。

所以，回答这个问题，答案是：

“除只能使用四位数的数字外，所有十位数数字”\开始{align}&=10^{10}-{10\选择4}\cdot 4^{10{\\&=10^{10}-210\cdot 4^{10{\结束{对齐}没有理由相信这些数字有一些不对称的分布，所以很明显，对于所有这些数字来说，第十个数字都是从零开始的。由于以零开头的数字并不完全是十位数，因此我们放弃它。

解决方案是：\开始{align}\tfrac9{10}（10^{10}-210\cdot4^{10{）&=9（10^9-21\cdot4]\\&= 8,801,819,136\结束{对齐}但我不确定这种推理是否正确。

Answer 1

这个答案与主题稍有不同，它肯定了@MarkoRiedel的结果。

这里我们使用指数生成函数计算已标记对象的配置数量并应用系数运算符$[x^n]$表示生成序列中$x^n$的系数。

如果我们要查找由$4$个不同对象组成的长度为$10$的字符串的数量，其中

• 我们计算出，每个对象可能出现零次或多次\开始{align*}10![x^{10}]e^{4x}\结束{align*}

• 每个对象都会出现至少一次，我们从生成函数$e^x$中删除$x^0$并计算\开始{align*}10![x^{10}]（e^{x} -1个)^4\结束{align*}

• 每个对象发生至多三次，我们从$e^x$的级数表示中获取最初的四个和，并计算\开始{align*}10![x^{10}]\左（1+x+\分数{x^2}{2！}+\分数}{x^3}{3！}\右）^4\结束{align*}

我们计算了10美元的通缉人数——至少包含5美元的数字$不同的通过计算补码来计算数字。我们首先计算全部的$10$位数。从这个数字中减去$10$个数字，其中正好包含$j$个不同的数字，$j=1，\ldots，4$。

所有$10$位数字的数字都是以$1、\ldots、9$开头，然后是$\{0、\ldot、9\}$中的$9$位数字。我们获得\开始{align*}9点10^9\结束{align*}不同的数字。现在我们计算10美元的数字，其中正好包含四个不同的数字。如果我们考虑四个不同的数字，数字是\开始{align*}10![x^{10}]（e^x-1）^4\结束{align*}因为我们必须从$\{0，\ldots，9\}$中选择四位数字，所以有$\binom{10}{4}$不同的可能性，总共\开始{align*}\二进制{10}{4}10![x^{10}]（e^x-1）^4\结束{align*}我们必须从这个数字中减去以$0$开头的字符串数。我们可以将这些字符串描述为以$0$开头，后面跟着零次或多次出现的$0$以及一次或多次发生的其他三位数字。前导零后面必须紧跟九位数字。我们得到了\开始{align*}9![x^9]e^x（e^x-1）^3\结束{align*}注意，系数$e^x$反映了这样一个事实，即$0$可能在前导$0$之后出现零次或多次，而其他三个数字必须至少出现一次。由于$\binom{9}{3}$有不同的可能性来选择与$0$不同的三个数字，因此我们得出结论，正好包含四个不同数字的数字是\开始{align*}\二进制{10}{4}10![x^{10}]（e^x-1）^4-\binom{9}{3}9![x^9]电子^x（电子^x-1）^3\结束{align*}

$$ $$

由于我们必须从$9\cdot 10^{9}$中减去所有精确包含四个、三个、两个和一个不同数字的数字，因此我们最终获得

\开始{align*}&9\cdot10^9-\binom{10}{4}10![x^{10}]（e^x-1）^4+\binom{9}{3}9![x^9]e^x（e^x-1）^3\\&\四元\qquad-\binom{10}{3}10![x^{10}]（e^x-1）^3+\binom{9}{2}9![x^9]e^x（e^x-1）^2\\&\四元\qquad-\binom{10}{2}10![x^{10}]（e^x-1）^2+\binom{9}{1}9![x^9]e^x（e^x-1）^1\\&\四元\qquad-\binom{10}{1}10![x^{10}]（e^x-1）^1+\binom{9}{0}9![x^9]e^x\\&=9\cdot10^9-210\cdot818520+84\cdot204630\\&\qquad\qquad-120\cdot55980+36\cdot18660\\&\qquad\qquad-45\cdot1022+9\cdot511\\&\qquad\qquad-10\cdot1+1\cdot1\\&=8839212480\结束{align*}

Answer 2

有了这些问题，使用斯特林是有用的封装包含排除的第二类数字。这个然后计数变得非常简单。

假设我们首先用1、2、3和四个不同的数字，其中包括以开头的数字一个或多个零。这是由

$$\sum_{q=1}^4{10\choose q}{n\brace q}\times q$$

现在减去那些以零开头的数字第二次最多不会出现四个不同的数字。这是

$$\sum_{q=1}^4{9\选择q-1}{n-1\大括号q-1}\次（q-1）$$

最后减去以零开始的那些零第二次或更多

$$\sum_｛q=1｝^4｛9\选择q-1｝｛n-1\括号q｝\times q$$

最后的答案是

$$9\乘以10^{n-1}-\left（\sum_{q=1}^4{10\选择q}{n\大括号q}\乘以q！-\sum_{q=1}^4{9\选择q-1}{n-1\大括号q-1}\次（q-1）！\\-\sum_{q=1}^4{9\选择q-1}{n-1\大括号q}\乘以q！\右侧）$$

此公式在以下Maple代码中实现：

with（组合）；问：=进程（n）局部资源；分辨率：=加法（二项式（10，q）*stirling2（n，q）*q！，q=1..4）-加法（二项式（9，q-1）*stirling2（n-1，q-1，）*（q-1）！，q=1..4）-加法（二项式（9，q-1）*stirling2（n-1，q）*q！，q=1..4）；9*10^（n-1）-res；结束；

这将生成序列（从$n=5$开始）$$27216, 544320, 7212240, 81648000, 862774416, 8839212480, \\ 89320326480, 897169996800, 8988342579216,89952351128640, \\899806333018320，\ldot$$

特别是$n=10$的答案是

$$8839212480.$$

前几个值可以通过以下Perl脚本进行验证进行总枚举。

#! /usr/bin/perl-w#主要：{my$mx=shift||5；对于（我的$n=5；$n<=$mx；$n++）{我的$res=0；对于（我的$ind=10**（$n-1））$ind<10**$n$ind++）{我的$val=$ind，%d=（）；而（$val>0）{$d{$val%10}++；$val=（$val-（$val%10））/10；}$res++如果标量（键（%d））>=5；}printf“%02d$res\n”，$n，$res；}}

备注。似乎通过与问题的补充。我们可以使用与上述相同的方法列举五、六、七等到十个不同的数字数字。下面的Maple例程可以做到这一点。

with（组合）；问题2：=进程（n）加法（二项式（10，q）*stirling2（n，q）*q！，q=5..10）-加法（二项式（9，q-1）*stirling2（n-1，q-1，）*（q-1）！，q=5..10）-加法（二项式（9，q-1）*stirling2（n-1，q）*q！，q=5..10）；结束；

闭合形式。我们可以找到这个总和的闭合形式。

回忆集合分区的种类$$\mathfrak{P}（\mathcal{U}\mathbrak{P}（P）_{\ge 1}（\mathcal{Z}）$$它给出了生成函数$$G（z，u）=\ exp（u（\exp（z）-1））$$

这就产生了$${n\大括号k}=n！[z^n]\frac｛（\exp（z）-1）^k｝｛k！｝$$

因此，我们获得了第一项总和（注意，我们有$n \ge 5$在整个计算中）

$$\sum_{q=5}^{10}{10\选择q}{n\大括号q}\乘以q！=n！[z^n]\sum_{q=5}^{10}{10\选择q}（\exp（z）-1）^q\\=n！[z^n]\sum_{q=5}^{10}{10\选择q}\sum{p=0}^q{q\选择p}（-1）^{q-p}\exp（pz）\\=n！[z^n]\sum_｛p=0｝^｛10｝\exp（pz）\求和{q=\max（5，p）}^{10}{10\选择q}{q\选择p}（-1）^{q-p}\\=\sum_{p=0}^{10}p^n\求和{q=\max（5，p）}^{10}{10\选择q}{q\选择p}（-1）^{q-p}$$

这就产生了$10^n-210\次4^n+720\次3^n-945\次2^n+560$$

使用第二学期的相同程序

$$\sum_{p=0}^{9}p^{n-1}\求和{q=\max（4，p）}^{9}{9\选择q}{q\选择p}（-1）^{q-p}$$

这就产生了

$$9^{n-1}-84\乘以3^{n-1'+216\乘以2^{n-1}-189$$

我们终于有了第三块

$$\sum_{p=0}^{10}p^{n-1}\求和{q=\max（5，p）}^{10}{9\选择q-1}{q\选择p}（-1）^{q-p}$$

这就产生了

$10^{n-1}-9^{n-1}-84\乘以4^{n-1}+300\乘以3^{n-1'-405\乘以2^{n-1}+245$$

收集我们最终得到的所有信息

$$9\乘以10^{n-1}-189\乘以4^n+648乘以3^n-1701乘以2^{n-1}+504$$