使用多项式插值时的误差公式

Question

你有一个函数f，它有一个连续的$（n+1）th$导数。

您可以使用多项式$p_n$在点处插值函数$（x_0，f_0），（x_1，f_1）。。。（xn，fn）$。

然后通过以下公式给出插值误差

$$f（x）-p_n（x）=（x-x_0）（x-x_1）。。。（x-xn）\压裂{f^{n+1}（t）}{（n+1）！}$$

带有$x_0\leq t\leq x_n$

我的文字只是陈述了公式，并没有说明它是如何推导出来的。我不知道你是怎么得到方程的右边的，我怎么才能推导出这个公式呢？

Answer 1

对于一些固定的$\tilde{x}\notin\{x_0，\dots，x_n\}$构造函数$$F（x）=F（x）-p_n（x）-g（tilde{x}）\prod_{i=0}^n（x-x_i），$$其中$g（\tilde{x}）$定义为$F（\tilder{x}）=0$，即。$$g（波浪线{x}）=（f（波浪线}）-pn（波浪线））向左（prod_{i=0}^n（x-x_i）向右）^{-1}。$$$F（x）$有$（n+2）$个不同的根，即$x_0、\dots、x_n、\tilde{x}$。根据你所说的$f$导数的连续性，可以得出$f$是$（n+1）$次连续可微的。现在，应用Rolles定理$（n+1）$次，从中可以得出一些$t$，这样$F^{（n+1$$F^{（n+1）}（x）=F^{！$$在上面的表达式中插入$t$$$g（tilde{x}）=frac{f^{（n+1）}（t）}{（n+1）！}，$$这就完成了证明。