使用舍入函数的丢番图方程的解数

Question

方程式定义为：$$\left\lfloor\frac｛（x-1）（a_-n-a_1）｝｛n-1｝\right\lceil+\left\lfloor\frac｛（y-1）（a_-n-a_1）｝｛n-1｝\right\lceil=n$$如果$1\le x，y\le n$，$x$和$y$可以取多少个整数值作为$f（a_n，a_1，n，n）$？

我曾尝试将方程式放入绘图软件中，但图表相当不准确（我手动检查了一个答案，但它没有出现在图表上）。这个图看起来确实像一个台阶，台阶的长度是规则的，也许我在想$f（a_n，a_1，n，n）$可能与边界$1$和$n$的平方内的台阶数有关？

我对丢番图方程几乎一无所知，更不用说涉及的舍入函数了。我不是在寻找一种求解方程的方法，而是一个计算解的数量的函数。任何帮助都将不胜感激。


编辑我的上一个问题得到了令人满意的回答，但我想知道，如果等式依次为：$$\left\lfloor x（\ln（x\ln x））\right\rceil+\left\floor y（\ ln（y\ln y））\right\rcuil=N$$，亚瑟提供的相同方法是否仍然可以使用此外，更大的挑战是，该方法对更一般的方程是否仍然有效：$$\sum_{i=1}^m\lfloorf（x_i）\rceil=N$$

Answer 1

设$L=\floor\frac{（x-1）（a_n-a_1）}{n-1}\rceil$和$R=\lfloor\frac{（y-1）（a_n-a_1）}{n-1}\rceil$，因此$L+R=n$

对于$L=\lfloor z\rceil$，$L-\frac{1}{2}\lez\ltL+\frac}{2{$，其中$L\ge0$。向最接近的整数和$\frac{1}{2}\rightarrow 1$舍入。

$$L-\压裂{1}{2}\le\压裂{（x-1）（a_n-a_1）}{n-1}\ltL+\压裂{1'{2}$$

$$\压裂{（L-\压裂{1}{2}）（n-1$$

$$\left\lceil\frac{（L-\ frac{1}{2}）（n-1）}{a_n-a_1}+1\right\rceil\lex\lt\left\ lceil\frac{（L+\frac}{2{）（n-1）}{an-a_1}+1 \right\ rceil$$lhs可能是一个负分数，因此将1美元计入底价。

必须限制$x$s.t.$1\le x\lt n+1$。相对湿度可能超过最大值$n+1$。lhs可能超过最大值和最小值$1$。

$$min\left（最大值\左（\left\lceil\frac{（L-\frac}{2}）（n-1）}{a_n-a_1}+1\right\rceil，1\right），n\right）\le x最小值\左$$

设$f_x（a_n，a_1，n，L）$是满足等式（$1$）的$x$整数的数目。

$$f_x（a_n，a_1，n，L）=最小左（左）（左）$$

类似地，让$f_y（a_n，a_1，n，R）$是$y$个整数

$$f_y（a_n，a_1，n，R）=最小左（左\lceil\frac{（R+\frac{1}{2}）（n-1）}{a_n-a_1}+1右\rceil，n+1右）-最小左$$

$f_x（a_n，a_1，n，L）$和$f_y（a_n.，a_1.，n，R）$是相同的。

设$f（a_n，a_1，n，n）$是点$（x，y）$的个数，从而满足目标方程。

$f（a_n，a_1，n，n）=\displaystyle\sum_｛k=0｝^{N} f_x（f_x）（a_n，a_1，n，k）f_y$