在这里，您的$X$只是$\mathbb{a}^1_k$的一个开放子集的覆盖空间（这是因为etale映射是开放的）。如果$k$是特征0，那么这基本上可以简化为$k=\mathbb{C}$的情况。在这种情况下，黎曼存在定理说，一切都可以拓扑地完成。
特别是，您可能对覆盖空间理论感兴趣，其中许多内容都说，“好”拓扑空间$X$的度为$n$的覆盖空间的同构类与置换表示的等价类$\pi_1（X）\rightarrow S_n$是双射的，其中等价关系是“$S_n$的内部自同构的模合成”。这里连接的覆盖对应于传递置换表示（即$\pi_1（X）$的图像是$S_n$的传递子群）。
你基本上是在要求$\mathbb｛C｝$的子集的有限覆盖的度的一个界，对于它没有。
例如，假设您想要$\mathbb{C}\setminus\{0\}$的封面。穿孔平面的基群是$\mathbb｛Z｝$，并且对于每个$n$都有传递表示$\mathbb｛Z｝\rightarrow S_n$。事实上，这里的泛覆盖是连通的，并且具有无限的度。
如果您只对surpjective etale映射$X\rightarrow\mathbb{A}^1_k$感兴趣，那么由于$\mathbb{C}$是简单连接的，因此没有$\mathbb{A{^1_k$s的重要覆盖。
即使您允许$k$是一个数字字段，您也可以使用etale基本群来计算$\mathbb{a}^1$realizable在$\mathbb{C}$上的子集的每个覆盖都可以在$\mathbb{Q}$上实现（因此也可以在任何数字字段上实现）。
尽管如此，请注意，如果$k$不是代数闭的，那么从$k$的可分离扩展中就存在大量的$\mathbb{A}^1_k$覆盖。
如果$k$是典型的$p$，那么事情会变得非常有趣。例如，请参见https://mathoverflow.net/questions/868/etale-covers-of-the-affineline网站
