背景
设$（X，\mathcal{A}）$是测度空间，$\mathcal{B}$是Borel$\sigma-$代数。函数$f:（X，\mathbb{\mathcal{A}}）\rightarrow（\mathbb{R}，\mathcal{B}）$是$\mathcali{A}$可测量的，如果对于所有实$\alpha$，$\{X:f（X）>\alpha\}\in\mathcial{A}$。特别是，如果$\mathcal{L}$是Lebesgue$\sigma-$代数，则$f:（\mathbb{R}，\mathcal{L}）\rightarrow（\mathbb{R{，\mathcal{B}）$是可测量的，如果它满足上述定义。
权利要求1：
如果$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$是Lebesgue可测的并且$g:\mathbb｛R｝\rightarrow\mathbb｛R｝$是连续的，则$g\circ f$勒贝格是可测量的。
证明：设$\alpha\in\mathbb{R}$。由于开集的连续函数下的逆像是开集，$G=\{x:G（x）>\alpha\}$是开放的，因此是Borel集合。自$\mathcal{B}\subset\mathcal{L}$，$f$是勒贝格可测的，我们请看$f^{-1}（G）\in\mathcal{L}$。因此，$g\circ f$是勒贝格可测量。
权利要求2：
对上述证明的一个轻微修改表明，如果$g$是Borel可测量的，而不是连续的，则上述结果成立。
权利要求3如果$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb2{R}$和$g:\mat血红蛋白{R}\ rightarror\mathbb{R}$都是勒贝格可测的，那么$g\circ-f$不必是勒贝格可测的。
证明让$C$成为康托集。请注意，$C$具有Lebesgue度量值$0$。设$f:[0,1]\rightarrow C$是严格已知的将区间$[0,1]$映射到$C$上的递增函数。然后$f$Borel是可测量的，因此Lebesgue也是可测量的。让$V\子集[0,1]$是vitali集合。既然勒贝格测量完成了，我们发现$f（V）\C$子集是lebesgue可测的（有测度零）。让$g:C\rightarrow\{0,1\}$作为$f（V）$，即$g=\chi_{f（V”）}$。那么$g$是勒贝格的可测量值直接验证。然而，$\{x:g\circf>0\}=V$，这不是勒贝格可测量。
问题
由于$f$和$g$都是Borel可测量的，因此权利要求3中的反例与权利要求2是否矛盾？
