Khinchin“连分式”中的定理1

Question

我正在阅读钦钦的连分式的英文译本，我可能在第4页的定理1中发现了一个错误。

Khinchin观察到，如果我们将有限连分式$[a_0；a_1，…a_n]$简化为$p/q$，将连分式$[a_1；a_2，…a-n]$简化成$p'/q'$，那么由于$p/q=a_0+\frac1{p'/q'}$，我们可以选择$p$和$q$的值，这样：

$$p=a_0p'+q'，\quad q=p'\tag{*}$$

并使用它以$p/q$的形式递归定义有限连分式的标准表示。

Khinchin将$[a_0；a_1，…a_k]$定义为$k$-th收敛的连分数$[a_0；a_1，…a_n]$，其中$n\geq k$。

定理1指出，其中$p_k/q_k$是第$k$次收敛的标准表示：

$$p_k=a_k p_{k-1}+p_{k-2}$$$$q_k=a_k q_｛k-1｝+q_｛k-2｝$$

现在，Khinchin为第$r$-次收敛编写了$p'_r/q'_r$。这是我第一次怀疑。。。他不是已经为此写了$pr/qr$吗？然后他说：

根据$（*）$中的公式，$$p_n=q_0p'{n-1}+q'{n-1}$$$$q_n=p'{n-1}$$

什么？这根本不是$（*）$说的！该循环将$[a_0；a_1，…a_n]$与$[a_1；a_2，…a_n]$关联，这里Khinchin试图将$[a_0；a_1，..a_n]$[a_0；a_1，..a_{n-1}]$关联。在我看来，钦钦或译者使用“收敛”这个词是错误的。当使用我上面给出的定义解释“收敛”时，构成定理1基础的递归关系似乎是正确的，但我只验证了$k=2$。

Answer 1

这个问题原来是我的一个非常简单的阅读错误。

事实上，Khinchin的$p'_r/q'_r$不是原始连分数的$r^{rm-th}$收敛

$$[a_0；a_1，…a_n]$$

但对于连续分数：

$$[a_1；a_2，…，a_n]$$

在这种情况下，他的主张是显而易见的。

Answer 2

他说，在第3页中间，没有编号

$$[a_0；a_1，\ldots，a_n]=[a_0；r_1]=a_0+\frac{1}{r_1}$$这里，$$r_1=[a_1；a_2，\ldots，a_n]$$

这与您的（*）一致，这是第4页的公式（6）。

同时，多年来我已经很好地利用了这些，我建议您习惯使用这个俚语，将收敛写成一些$\sqrt N.$。注意前两个收敛是如何（合法的）$0/1$和非法的$1/0.$这里，对于收敛$p/q，$下面的整数是$p^2-13q^2$

$$\sqrt{13}$$

$$ \开始{数组}{ccccccccCCccccccccccccc}& & 3 & & 1 & & 1 & & 1 & & 1 & & 6 & & 1 & & 1 & & 1 & & 1 & & 6 & \\\压裂{0}{1}和\压裂{1}{0}&&\压裂{3}{1{和&\压裂}4}{1｝&&\裂缝{7}{2}&&\frac{11}{3}&&\frac{18}{5}&&\\frac{119}{33}&\frac{137}{38}&\压裂{180}&&压裂{4287}{1189}\\\\& 1 & & -4 & & 3 & & -3 & & 4 & & -1 & & 4 & & -3 & & 3 & & -4 & & 1 & & -4 \结束{数组}$$