设$f（x）=x^2+12x+30$。求解$f（f（f（f（f（f（x））））=0$

Question

这是我的解决方案，对吗？我发现我们可以将$f（f（x））$重述为$（（x+r）（x+s）+r）因此美元（f（f（f（f（x））））=0美元是$（x+r）^2（x+s）^2$

来自维埃塔

$0=（x+r）（x+s）（36^2-r^2）$，我们得到$x=-6$

我在什么地方犯了错误吗？我也想看看其他解决方案

编辑：那么我怎么用vieta解决呢？

Answer 1

我们有$f（x）=（x+6）^2-6$，因此$f^2。

所以$f^5（x）=（x+6）^{32}-6=0$，给出（实际）解$x=-6\pm\sqrt[32]{6}$。

Answer 2

为所有$n\geq1$定义归纳$f^n（x）=f（f^{n-1}（x））$，以便您求解$f^5（x）=0$。

我们有$f^5（x）=f（f^4（x））$，因此$f^4。$$f^4（x）=-3\pm\sqrt{6}。$$那么出于同样的原因，$f^3（x）$是任何值$z$，如下所示$$z^2+12z+30=-3\pm\sqrt{6}。$$再将此过程迭代几次，即可得到$f^5（x）=0$的解。