是否存在具有平凡第一同源群的非单连通空间？

Question

是否存在一个路径连通的拓扑空间，使得其基本群是非平凡的，但其第一个同调群是平凡的？

由于空间的第一个同调群是基本群的交换，我们正在寻找一个交换不重要的非平凡群。有这样的团队吗？

Answer 1

其abelination为琐碎的组称为很 完美，有许多这样的团体。特别地，任何非贝利有限简单群都是完美的，所以例如$A_5$是完美的$A_5$实际上是最小的非平凡完美群。所以任何基本群为$A_5$的空间都是一个例子。

一个几乎有基本群$A_5$的著名例子是庞加莱十二面体空间这是一个封闭的$3$-流形，它是$S^3$通过二元二十面体群，它是$A_5$的扩展，与$A_5类似，它是完美的。任何具有完美基本群的封闭$3$-流形必然与球面具有相同的同调性，这表明庞加莱认为，对于一个$3$--流形来说，其同调性与球面相同是不够的，从而激发了庞加莱猜想.

Answer 2

是的，对于任何组$G$，都存在一个（路径连接的）$K（G，1）$，并且存在一些具有琐碎阿贝尔化的非平凡组。

Answer 3

这正是庞加莱构建的空间类型，表明同源性不足以区分三个流形和三个球体。他取了一个十二面体，用最小的顺时针扭转将对面粘合起来。结果空间是同调球---它有$\Bbb S^3$的同源群，但有重要的$\pi_1$。