在处理组合数学中的计数时，你是如何教双宾语的正确性的？

Question

考虑一下给学校里的人颁奖的问题。

设$A$为奖励集，$|A|=m=3$。

假设$P$是学校中的一组人，$|P|=n$。

那么，我们可以用多少种方式向n名学生授予这3个不同的奖项？

让配对/元组$\langle a_i，p_k\rangle$表示奖励$a_i$是给学生$p_k$的（注意，同一个人可能赢得/赢得所有奖项，有人可能获得所有奖项！）。

授予3个奖项的一个例子（如果n=2）：

$$（语言a_1、p_1、语言a_2、语言a_3、语言p_1）$$

基本上我们是这样做的：

“个人x赢得奖项a1，y赢得奖项a2，z赢得奖项a3”

所以我们得到的是，我们总是有$|A|=m$个“空格”，在这里我们需要选择哪个人将获得奖励。这表明我们有一个从序列集$P^3=P\次P\次P$到三个奖品授予方式的双射。

因此，授予$|A|=m=3$奖项/奖品的方式是：

$$|P^3|=|P|^3$$

对我来说，这个解决方案很有意义。然而，我遇到的问题不是我对它的理解，而是从教育学的角度，如何教它正确的答案（也许我并不像我认为的那样理解它……）以及如何说服其他人认为这个双射是正确的，并且我们在计算过程中没有“遗漏”任何东西。

有人问我，如果我们安排好“空间”，即按不同的顺序颁发奖项，会怎么样。我们不是按照$a_1，a_2，a_3$的顺序颁发奖品。这不也是一个惊喜吗？如果是这样的话，这不意味着我们实际上没有计算所有授予价格的方式，因为我们可以按照不同的顺序授予价格。

我解释说，顺序无关紧要，我们正在重复计算（如果我们包括更多计数），但我很清楚，学生并不满意。是否有人有更好的更直观，甚至更严格的方式来澄清这种误解？我的问题是，也许这对我来说太“明显”了，以至于很难知道我需要说什么，或者我可以做什么来帮助他们更好地理解。有什么主意吗？

Answer 1

一个问题是你写了

$$\big（语言a_1、p_1\rangle、语言a_2、语言a_3、语言p_3\rangle\big）$$

而不是

$$\{langle a_1，p_1\rangle，\langle a_2，p_2\rangel，\langles a_3，p_3\range\}$$

这使得

$$big（语言a_2，p_2等级，语言a_3，p_3等级，语言a_1，p_1等级big）$$

看起来有些不同，因为括号使它看起来像一个有序的三元组。事实上应该是

$$\{langle a_2，p_2范围，langle a_3，p_3范围，langler a_1，p_1范围$$

从$\｛a_1，a_2，a_3\｝$到$P$的相同函数，其元素按不同顺序列出。但我们命名集合元素的顺序无关紧要。成套设备

$$\开始{align*}&\{语言a_1，p_1语言a_2，p_2语言a_3，p_3语言a}\\&\{langle a_1，p_1等级，langle a_3，p_3等级，langle a_2，p_2等级\\&\{语言a_2，p_2语言a_1，p_1语言a_3，p_3语言\\&\{语言a_2，p_2语言a_3，p_3语言a_1，p_1语言\\&\{语言a3，p3语言a1，p1语言a2，p2语言；，\文本{和}\\&\{langle a_3，p_3等级，langle a_2，p_2等级，langler a_1，p_1等级\结束{align*}$$

都是相同的集合，因此从$\{a_1、a_2、a_3\}$到$P$的函数相同。如果你已经充分强调了关于集合的事实，那么它至少应该有助于说明这一点。

不太严格地说，我们所说的是结果——获得每个奖项的人的实际身份——与奖项的实际颁发顺序无关。函数告诉谁得到什么；它没有说明奖项的实际分配顺序。它们甚至可以由三个不同的演示者同时分发。