$\mathbb{P}^3中的有理四次曲线$

Question

根据Hartshorne（练习IV.6.1），$\mathbb{P}^3$中的4次有理曲线包含在唯一的光滑二次曲面中。如果是这种情况，那么它必须定义一个除数。我的问题是，这个除数是什么类型的？看起来它必须是$（1,3）$类型（通过下面的示例），但我不知道如何显示它。

可以计算出一个例子，其中二次曲面是$\｛xw yz＝0\｝$，四次曲面是$\｛xw yz＝0，wy^2-xz ^2＝0，z^3-w^2y＝0，y^3-x^2z＝0\｝$$

这将$\{x=0，z=0\}$与重数$1$相交，$\{x=0，y=0\{$与重数$3$相交，因此我们得到了类型$（1,3）$（这相当令人惊讶，因为我认为我们必须通过对称获得$（2,2）$）。一般来说，我可以看到它只能是$（2,2）$或$（1,3）$类型，但不知道如何排除$（2,2$）。

Answer 1

双阶（2,2）除数来自于将$\mathbb{P}^3$中的泛型二次曲面限制为包含曲线的二次曲面。因此，在$\mathbb{P}^3$中，至少需要两个包含曲线的二次曲面，才能将其实现为（2,2）除数，正如练习中所示，只有一个二次曲面。事实上，您可以应用附加函数来证明$\mathbb{P}^3$中两个二次曲面的（非奇异）完全交集具有平凡的正则丛，因此它不可能是有理的。

Answer 2

如Hartshorne的示例V.1.5.2所示，对$Q$上$（2,2）$类型的曲线应用附加运算，以获得$g=2\cdot 2-2-2+1=1\neq 0$。