树高的方差

Question

有根平面树（即有根、无标记、无界节点度的有序树）和有序二叉树（即每个节点都有零个或两个后继节点的有根、未标记、平面树）的高度的渐近方差是多少？

已知有根平面树的渐近平均高度为$\sqrt{\pin}-\frac{1}{2}$（Knuth等人）；二叉树的渐近平均高度为$2\sqrt{\pin}$（Flajolet&Odlyzko）。

关于两个树类之一的高度的渐近方差，有什么已知的吗？

我之所以问这两个树类，是因为它们是两个最突出的树类示例。
请注意二进制搜索树已知；然而，这是一类不同的树（它们是具有非均匀分布的二叉树）。

Answer 1

多亏了ShreevatsaR的评论一下，我可以在弗拉乔莱特的书中找到正确的部分并找出例子。
命题VII.16指出，如果树族$F$的基本树构造器为$\phi$，特征方程$\phi（\tau）-\tau\phi'（\t au）=0$的根为$\tau$（注意书中有一个错误），那么大小为$n$的树的树高$\chi$的二阶矩满足$$E_｛F_n｝（\chi^2）\sim\frac｛\pi^2｝｛3｝\frac｛2\phi'（\tau）^2｝｛\phi（\tau）\phi'（\tau）｝n。$$让$B$表示二叉树族，让$P$表示平面树族。然后$\phi_B（u）=1+u^2$，$\phi_P（u）=（1-u）^{-1}$，$\tau_B=1$和$\tau_P=1/2$。所以$$E_{B_n}（chi^2）\sim\frac{4\pi^2}{3} n个\quad\text{和}\四边形E_{P_n}（\chi^2）\sim\frac{\pi^2}{3} n个,$$因此方差是渐近的$4\pi\left（\frac{\pi}{3}-1\right）n$（对于二叉树）和$\pi\left（\frac{\pi}{3}-1\right）n$（用于平面树）。