关于原范畴的概念

Question

我无法理解前范畴和内范畴的概念。

根据[Kashiwara-Schapira，Categories and Sheeves]，范畴$C$的ind-object是集合^{C^{op}$中的一个逆变函子$F\，它同构于可表示函子的过滤集合，$ind（C）$表示它们的$Set^{C_{op}}$的完整子范畴。pro对象和$pro（C）$也有类似的定义。然而，我无法理解这个类别的含义。

我认为这是对类别的某种完成或补充。因为有限集的范畴没有任意的共线，并且它的indization$Ind（Set_f）$与集合的范畴同构。然而，根据国家实验室群$Grp$的类别似乎是共完备的，但它的标识$Ind（Grp）$与$Grp$s不是同构的。

此外，在[Artin-Mazur，Etale同态]中，同调和上同调函子被推广到了前范畴。具体来说，设$H_{CW}$是CW复形的同伦范畴，并用$H_*：H_{CW}\到Ab，H^*：H_{CW}^{op}\到Ab$来表示它的同调和上同调函子。然后，将它们扩展到原范畴$H_*：pro（H_{CW}）\到pro（Ab），H^*：pro。然而，后一函子的映象实际上是一个阿贝尔群，而前一函子只是一个前阿贝尔群。我不理解这种区别。

总之，我想问的是

• 这个概念的动机是什么？虽然我知道每个前缀在规范上都与可表示函子的集合同构，但将其索引类别限制为被过滤似乎是不自然的。
• 当类别$C$及其标识$Ind（C）$同构时，有什么标准吗？
• 在上述情况下同调和上同调的区别是什么？当函子$F:C\到D$的pro-extension$F:pro（C）\到pro（D）$的映象总是在$D$中时？
• 为什么这个概念很重要？我想了解一些应用程序。

Answer 1

研究ind-completions有很好的理由：首先，对于局部小类别$\mathcal{C}$，我们有一个等价于$\mathbf{ind}（\mathcal{C}）$的所有类别的完整公理化，它们正是类$\aleph_0$-可访问的类别。一个特例是$\aleph_0$-accessable范畴，代数结构的许多范畴都是这样的例子：集合、群、环、模、域、阿贝尔群的链复合体、预升、（小）范畴等。另一方面，$\mathbf{Pro}（\mathcal{C}）$只是$\mathbf{Ind}（\ mathcal}^\mathrm{op}）$. 此类类别的例子并不多，但其中一个例子是Stone空间类别（也称为profinite集合）。

我应该指出的另一件事是，$\mathbf{Ind}（\mathcal{C}）$几乎从来都不等价于$\mathcal{C}$，更不用说与$\mathcal{C{$同构了，因为它是一个自由的完成–强调免费！这与$\mathbb{C}\otimes_\mathbb2{R}M$很少与$M$同构的事实类似，即使$M$是$\mathbb{C{$-模块。

Answer 2

Indization提供了一个$2$-函子，它与健忘的$2$-functor从具有有向共鸣的$2$范畴到具有函子的所有范畴的$2$s范畴保持有向共聚。因此，我们的想法是将有向共线邻接到给定的范畴自由地。我们只将给定的类别视为一个类别，忽略任何额外的随机属性，例如某些共线的存在性。因此，即使它已经有了直接性结肠炎，该指数化也会改变类别，因为它根本不知道直接性结膜炎已经存在。至少这是我的直觉。有人可能会问，是否有可能记住已经存在的腹痛，但我怀疑这是否有一个通用的解决方案。也许混淆还与以下内容有关：当人们想到其他附加词时，例如无扭阿贝尔群和阿贝尔群，修改扭子群的左伴随当然不会改变无扭群。更一般地说，如果$F$与$G$左伴，并且$G$完全忠实，那么附加词$FG\to1$的组合是同构的。但这是不当$G$仅忠实时的情况，即对应于包含一个不被假设为完整的并且因此可能具有较少态射的类别。同样的评论也适用于$2$-附加词，尤其是上面提到的附加词：在有向结肠炎的范畴之间，我们只考虑那些保持有向结膜炎的函子。