为什么${}^4 C_2\times{}^8 C_3$没有给出$5$成员委员会（至少$2$女性）的数量，分别是$4$女性和$6$男性？

Question

问题是我们可以通过多少种方式选择一个$5$成员来自$6$男性和$4$至少包括两名女性。

我知道，解决这一问题的标准方法是

• $2$女人，$3$男人
• $3$女人，$2$男人
• $4$女人，$1$男人

然后我们可以继续。这样做的答案是$186$方式。

我的疑问是为什么我们不能写作${}^4 C_2\次{}^8 C_3$.

$2$女性先被选中，然后退出$6$人和剩余$2$女性（总计$8$)任何$3$已选中。为什么这是错误的？

Answer 1

假设我们给女人贴上标签$W_1、W_2、W_3、W_4$和男人们$M_1、M_2、M_3、M_4、M_5、M_6$.

假设，根据你的方案，我们先选择两位女性，然后碰巧选择了$\颜色{蓝色}{W_1}，\颜色{蓝}{W_2}$然后选择剩下的三个人$\color{red}{W_3}，\color}red}{M_1}，\ color{red}{M_2}$，所以

$$\text{我们的委员会是}\{color{blue}{W_1}，\color{blue}{W_2}，\ color{red}{W_3}，\scolor{red}{M_1}和\color}red}{M_2}$$

但假设我们选择另一个委员会。我们可能会选择$\颜色{蓝色}{W_2}，\颜色{蓝}{W_3}$首先，委员会的其余成员是$\color｛red｝｛W_1｝、\color｛red｝｛M_1｝、\color｛red｝｛M_2｝$.然后

$$\text{我们的委员会是}\{color{red}{W_1}，\color{blue}{W_2}，\ color{blue}{W_3}，\scolor{red}{M_1}和\color}red}{M_2}$$

再一次！我们以两种不同的方式选择了同一个委员会。（我选择用颜色来区分第一个选择蓝色的女性和其余三个选择红色的女性，但请注意，委员会的组成仍然完全相同，由完全相同的人组成。）

也就是说，您的方法会导致过度计算（您的答案是$336>186$).