具有均值和方差的正态分布中随机样本的样本方差

Question

我知道，如果随机样本的样本方差服从正态分布$（\mu，\sigma^2）$是

$$S_1^2=压裂{1}{n-1}\sum{（X_i-\bar{X}）}^2$$

然后，

$$U=压裂{（n-1）S_1^2}{西格玛^2}$$有一个$\chi^2美元$分配n-1美元$自由度。

这是否意味着如果我的随机样本的方差来自正态分布$（\mu，\sigma^2）$是

$$S_2^2=\frac｛1｝｛n｝\sum｛（X_i-\bar｛X｝）｝^2$$

然后，

$V=\dfrac{nS_2^2}{\sigma^2}$，具有$\chi^2美元$分配亿美元$自由度？

Answer 1

不完全是。通常，样本方差$$S^2=压裂{1}{n-1}\sum_{i=1}^n（X_i-\bar X）^2，$$鉴于$X_i\覆盖{\mathrm{iid}}{\sim}\mathcal N（\mu，\sigma^2）$，根据$S^2\sim\operatorname{Gamma}（\tfrac{n-1}{2}，\tfrac}2\sigma^2}{n-1{）$（形状-比例参数化）。通过对符号的轻微滥用，我们写作$$S^2\sim\运算符名称｛Gamma｝（\tfrac｛n-1｝｛2｝，\tfrac｛2\sigma^2｝｛n-1｝）$$ $$\tfrac{n}{\sigma^2}S^2\sim\tfrac{n}}{\sigma^2}\operatorname{Gamma}（\tfrac}n-1}{2}，\tfrac[2]{n-1}）$$ $$\标记{1}\tfrac{n}{\sigma^2}S^2\sim\operatorname{Gamma}（\tfrac{n-1}{2}，\tfrac}{n-1{）。$$的右侧$(1)$不能写成简单的$\chi^2美元$-等效分布$$\tfrac{n}{\sigma^2}S^2\sim\tfrac{n}}{n-1}\下大括号{\operatorname{Gamma}（\tfrac}n-1}{2}，2）}_{chi^2（n-1）}，$$也就是说$\tfrac{n}{\sigma^2}S^2$具有与$\chi^2（n-1）$随机变量乘以$n/（n-1）$.