5
$\开始组$

让我们定义正整数的根n美元$作为$$\operatorname{rad}（n）=\prod_{\substack{p\midn\\p\text{prime}}p$$并考虑以下斐波纳契式序列$$a_｛n+1｝=\运算符名称｛rad｝（a_｛n｝）+\运算符名称｛rad｝（a_｛n-1｝）$$如果$a_1=1，\，a_2=1$序列与OEIS公司A121369 $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 7, 9, 10, 13, 23, 36, 29, 35, 64, 37, 39, 76, 77, ...$$如果$a_1=2，\，a_2=2$序列变为$$2, 2, 4, 4, 4, ...$$如果$a_1=3，\，a_2=3$序列变为$$3, 3, 6, 9, 9, 6, 9, ...$$如果$a_1=5，\，a_2=5$序列变为$$5, 5, 10, 15, 25, 20, 15, 25, ...$$如果$a_1=7，\，a_2=7$序列变为$$7, 7, 14, 21, 35, 56, 49, 21, 28, 35, 49, 42, 49, 49, 14, 21, ...$$除第一个序列外，上述序列都是周期性的。继续使用连续的质数，我们得到：

对于$\，p=11，\$周期长度为的序列$\,9$,

对于$\，p=13，\$周期长度为的序列$\,81$,

但为了$\，p=17\$和$\，p=19\$两个明显不同的序列。

生成周期序列的其他素数是（括号中的各个周期长度）：

$$23 (9), 29 (12), 31 (207), 37 (27), 41 (36), 47 (39), 73 (198), 79 (60)$$

之前的实验观察中出现了一些问题：

  • 周期长度总是的倍数吗$3$（不考虑案件$p=2$)?

  • 同样在上面提到的可疑情况下，序列在某个点上会变成周期性的吗？

  • 给定起始素数，是否可以预测生成序列的周期长度，或者至少可以识别某种模式？

我发布了一个同样性质的更一般的问题在这里.

编辑

用于计算$\，\运算符名称{rad}（n）\$我在Python中使用了sympy.primefactors（）方法：

从症状导入因子定义半径（num）：素数=素数（num）值=1对于素数中的p：值*=p返回值（a0，a1）=（17，17）对于范围（210001）内的n：a2=拉德（a1）+拉德（a0）打印（n，a2）a0=a1a1=a2
$\端组$
15
  • 1
    $\开始组$ 对于序列似乎发散的$p=17$，它与您如何对出现的大整数进行因子分解有关——使用$N$到$500$，我们可以得到大小为$2^{73}$的数字，我不确定例如Pari/GP中的因子分解功能：如果您不想面对非常耗时的完全因子分解，我认为在说$N=10000$步之后猜测序列的进程变得不现实。。。那么，你为这个价格p=17美元的黄金做了什么？ $\端组$
    – 戈特弗里德·赫尔姆斯
    评论 2022年5月18日8:45
  • 1
    $\开始组$ @GottfriedHelms PARI/GP可以很快将数字分解为大约60美元的数字。有更好的工具（例如yafu），我们可以管理大约120美元的数字，但运气好一点，但如果我们得到几百位数的数字，我们将无法在合理的时间内将其考虑在内。 $\端组$
    – 彼得
    评论 2022年5月18日9:23
  • 1
    $\开始组$ 但如果出现这么大的数字，我怀疑序列会变成周期性的。 $\端组$
    – 彼得
    评论 2022年5月18日9:25
  • 2
    $\开始组$ 周期性案例似乎很快就会减少：在$[79,10^5]$范围内，只有素数$79,831073671669$在前$10^4$步中不超过$10^{15}$。 $\端组$
    – 彼得
    评论 2022年5月18日10:31
  • 1
    $\开始组$ 观察，如果我们将OEIS A121369的项称为$s_n$，并且如果$\gcd（p，s_n）=所有$n$的1$，那么$p$的序列是周期的当且仅当序列OEIS A1211369是周期的。这是因为$\operatorname{rad}$是一个乘法函数。证明每个素数都至少除以一个$s_n$可能是一个需要尝试证明的东西，所以我们不能进行这个论证。 $\端组$
    – Merosity公司
    评论 2022年5月18日10:57

2个答案2

重置为默认值
1
$\开始组$

这基本上是通过证明从$a_1=a_2=p$具有$a{n+1}=\operatorname{rad}（a_n）+\operator name{rad\（a{n-1}）$相当于从OEIS A121369公司但要修改它，以便$1=b2=1$和计算$\operatorname{rad}（b_n）+\operator name{rad\（b_{n-1}）$像往常一样，但随后移除美元$除以那个和得到$b_{n+1}$.

特别是，如果您认为确定序列OEIS A121369是否是周期性的是困难的，那么就增加了划分最大幂的复杂性美元$在迭代的每一步，似乎都让这变得更加复杂和困难。如果你不同意这种启发式，你现在可以停止阅读，但如果你认为这是可以接受的，你可以继续证明序列是等价的。

如果美元$划分两个连续的术语，然后再划分第三个术语。所以这意味着美元$划分序列中的所有项。然后我们可以将序列写为$a_n=p^{1+k_n}b_n$具有亿美元$不能被除尽美元$和$kN\ge 0$.$$a{n+1}=\operatorname{rad}（a_n）+\operator name{rad\（a{n-1}）$$ $$p^{1+k{n+1}}b{n+1}=\operatorname{rad}$$ $$p^{k{n+1}}b{n+1}=p\运算符名{rad}（b_n）+p\运算符名称{rad{（b{n-1}）$$ $$p^{k{n+1}}b{n+1}=\operatorname{rad}（b_n）+\operator name{rad\（b{n-1}）$$

我们总是可以重建千美元$立即使用美元$-adic绝对值：

$$k{n+1}=v_p（\operatorname{rad}（b_n）+\operator name{rad}（b{n-1}））$$

所以我们可以引入符号$[x]_p美元$方法x美元$以最大的功率美元$根据美元$-adic估值，$x=p^{v_p（x）}[x]_p$.

$$b_｛n+1｝=[\operatorname｛rad｝（b_n）+\ operatorname｛rad｝（b_｛n-1｝）]_p$$

这个序列的开始与OEIS A121369相同，唯一的区别是我们只是简单地将所有美元$在迭代的每一步。

按照顺序美元（_n）$是周期性的，因为$a_n=p^{1+k_n}b_n$,亿美元$必须是周期性的。事实证明，这不仅是必要的，而且足够了。为了证明它足够，我们假设$b_n=b_{n+T}$.

$$k_n=v_p（\operatorname{rad}（b{n-1}）+\operator name{rad}（b2{n-2}$$

证据到此结束。

$\端组$
0
$\开始组$

这只是一个评论，目的是识别模式，为周期性的分析论证提供线索。

在下表中，我显示了N=60美元$素数的步骤$p=3..97$其中每个序列被前导素数除；加上顺序$p=1$作为顶行。表中的前一列是初始质数（或$1$) . 序列从第二列开始。这张照片看起来有点破旧，让我想得更远。。。

1  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   45   46   61  107  168  149  191  340  361  189   40   31   41   72   47    53  100    63    31    52    57    83   140   153   121     62     73   135    88    37    59    96    65    71   1363  1  1  2  3  3  2  3  3   2   3   3   2   3   3   2   3   3    2    3    3    2    3    3    2    3    3    2    3    3    2    3    3    2    3    3    2    3    3    2    3     3    2     3     3     2     3     3     2     3     3      2      3     3     2     3     3     2     3     3     25  1  1  2  3  5  4  3  5   4   3   5   4   3   5   4   3   5    4    3    5    4    3    5    4    3    5    4    3    5    4    3    5    4    3    5    4    3    5    4    3     5    4     3     5     4     3     5     4     3     5      4      3     5     4     3     5     4     3     5     47  1  1  2  3  5  8  7  3   4   5   7   6   7   7   2   3   5    8    7    3    4    5    7    6    7    7    2    3    5    8    7    3    4    5    7    6    7    7    2    3     5    8     7     3     4     5     7     6     7     7      2      3     5     8     7     3     4     5     7     611  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77   45   22   17   19   36   25   11    6    7   13   20   23   33   26   29   55   34   39   73  112   87   101  188   195   289   212   123   229   352   231    23     44     25     7    12    13    19    32    21    23    4413  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  11  12  17  23  40  33  43   76   81   41   44   63   43   64   45   17   32   19   21   40   31   41   72   47   53  100   63   31   52   33    35   68    69   103   172   189   107   128   109   111    220    221   127   144   133   139   272   173   207   24217  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   12    7   13   20   23   33   56   47   61  108   67   73  140  143  213  356  391   201  224   215   229   444   451   673  1124  1235  1797   3032   2555  3313  5868  4291  5269  9560  7659  4943  749619  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   41   43   84   85  127  212  233  339  572  625  291  296  365  439  804  841  431  460  661  891  694  727  1421  930  1133  2063  3196  3661  5259  8920  7489  9719  17208  11153  2021  2608  2347  2673  2380  1223  2413  135023  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  14  15  29  44  51  73  124  135   77   92   79   81   82   85  167  252  209  251  460  261   97  184   99   35   68   69   37   40   47    57  104    83   109   192   115    11    16    13    15     28     29    43    72    49    13    20    23    11    1229  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29   7   8   9   5    8    7    9   10   13   23   36   29    7    8    9    5    8    7    9   10   13   23   36   29    7    8    9     5    8     7     9    10    13    23    36    29     7      8      9     5     8     7     9    10    13    23    3631  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   15   16   17   19   36   25   11   16   13   15   28   29   43   72   49    13   20    23    33    56    47    61   108    67    73    140    143   213   356   391   569   960   599   629  122837  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37   3    4    5    7   12   13   19   32   21   23   44   45   37   16    3    5    8    7    9   10   13   23   36   29    35   64    37     3     4     5     7    12    13    19     32     21    23    44    45    37    16     3     5     841  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   45   46   61  107  168  149  191  340  361  189   40   31   41   32    3     5    8     7     9    10    13    23    36    29    35     64     37    39    76    77   115   192   121    17    2843  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   45   46   61  107  168  149  191  340  361  189   40   31   41   72   47    53  100    63    31    52    57    83   140   153   121     62     73   135    88    37    59    96    65    71   13647  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   45   46   61  107  168  149  191  340  361  189   40   31   41   72   47     7    8     9     5     8     7     9    10    13    23     36     29    35    64    37    39    76    77   115   19253  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   45   46   61  107  168  149  191  340  361  189   40   31   41   72   47    53   48     7    13    20    23    33    56    47    61    108     67    73   140   143   213   356   391   569   96059  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   45   46   61  107  168  149  191  340  361  189   40   31   41   72   47    53  100    63    31    52    57    83   140   153   121     62     73   135    88    37    59    38    39    77   11661  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   45   46   61   47   48   53   59  112   73   87  160   97  107  204  209   311  520   441   151   172   237   323   560   393   463    856    677   891   710   743  1453  2196  1459  1465  292467  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   45   46   61  107  168  149  191  340  361  189   40   31   41   72   47    53  100    63    31    52    57    83   140   153   121     62     73   135    88    37    59    96    65    71   13671  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   45   46   61  107  168  149  191  340  361  189   40   31   41   72   47    53  100    63    31    52    57    83   140   153   121     62     73   135    88    37    59    96    65    71    6673  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   45   46   61  107  168  149  191  340  361  189   40   31   41   72   47    53  100    63    31    52    57    83   140   153   121     62     73    63    22    43    65   108    71    77   14879  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   45   46   61  107  168  149  191  340  361  189   40   31   41   72   47    53  100    63    31    52    57    83   140   153   121     62     73   135    88    37    59    96    65    71   13683  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   45   46   61  107  168  149  191  340  361  189   40   31   41   72   47    53  100    63    31    52    57    83    58    59   117     98     53    67   120    97   127   224   141   155   29689  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   45   46   61  107  168  149  191  340  361  189   40   31   41   72   47    53  100    63    31    52    57    83   140   153   121     62     73   135    88    37    59    96    65    71   13697  1  1  2  3  5  8  7  9  10  13  23  36  29  35  64  37  39   76   77  115  192  121   17   28   31   45   46   61  107  168  149  191  340  361  189   40   31   41   72   47    53  100    63    31    52    57    83   140   153   121     62     73   135    88    37    59    96    65    71   136

第二条评论。以下是素数时所有已知循环的循环长度列表美元$给出了。

检查达到最大长度$600$一个循环，以及下面的所有素数$10\,000$测试需要大约。$500$sec.使用Pari/GP及其用于因子分解的选项“prime_proven”完成因子分解，这意味着不允许使用伪素数。
我在@Peter的评论中找到了相同的素数。重复从索引开始千美元$

  • 注1：循环长度在我删除的评论中计算错误；我漏掉了一个$1$由于指数减少千美元$在比较操作中。现在我的长度符合OP的计算。
  • 注2：要检测循环，仅发现一个值的重复是不够的$ak（_k）$，但我们必须找到两个连续值的重复$[a_k，a_{k+1}]$.
  • 注3：我现在相信这个列表是完整/有限的。
  • 注4：该列表不在OEIS中。

$$\小\开始{数组}{r}循环（&C）&k&ak&a{k+1}\\hline2 & 1 & 3 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 3 & 6 & 9 \\ 5 & 3 & 4 & 15 & 25 \\ 7 & 12 & 3 & 14 & 21 \\ 11 & 9 & 50 & 253 & 484 \\ 13 & 81 & 5 & 65 & 104 \\ 23 & 9 & 56 & 299 & 460 \\ 29 & 12 & 5 & 145 & 232 \\ 31 & 207 & 6 & 248 & 217 \\ 37 & 27 & 4 & 111 & 185 \\ 41 & 36 & 4 & 123 & 205 \\ 47 & 39 & 5 & 235 & 376 \\ 73 & 198 & 4 & 219 & 365 \\ 79 & 60 & 28 & 4819 & 8453 \\ 83 & 48 & 36 & 3320 & 2573 \\ 107 & 87 & 13 & 3103 & 3745 \\ 367 & 54 & 36 & 14680 & 11377 \\ 1669 & 90 & 25 & 51739 & 75105\结束{数组}$$

第三条评论
在MO中，彼得·泰勒对问题1进行了简单的观察：周期性$\pmod 2美元$具有循环长度$3$.
这（肯定）很明显，因为$（a_1，a_2）=（p_1，p_2）$和必要的均匀度a_3美元$和奇怪的4美元$依此类推，通过基本考虑，即总循环长度必须是任何此类基本（子）循环长度的倍数，回答了这个问题。

$\端组$
1
  • $\开始组$ 感谢您的全面分析，请将列表提交给OEIS员工。 $\端组$
    – 奥古斯托·桑蒂
    评论 2022年5月18日20:11

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