让n美元$是样本大小。自$S^2美元$根据$X_i$我们知道这一点
$$X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$$
$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1$$
高斯rv和奇偶rv之和的分布是广义齐方分布.A变量$\xi美元$广义齐方分布可定义如下:
$$\xi=x+\sum_1^n w_i y_i\text{其中}x\sim n(m,s),\;\;w_i\in\mathbb{R},\;\;y_i\sim\chi'^2(k_i,\lambda_i)\text{和}y_i\text{independent}$$
请注意$\chi'^2(k_i,\lambda_i)$是非中心齐次分布,它与X平方相关如下:
$$\chi^2(n)=\chi'^2(n,0)$$
在您的案例中,我们需要单个Chi-Squared变量和Normal变量的总和,其中Chi-Squired基于Normal随机变量的样本方差:
$$\xi=x+wy\;\;\文本{其中}x\sim N\左(\mu,\frac{\sigma^2}{N}\右),\;y\sim\chi'^2(n-1,0)$$
重量变量呢$w美元$? 如果$w=1$然后$\xi美元$表示以下总和:
$$\bar{X}+\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$$
但我们希望:
$$\bar{X}+S^2$$
因此,为了得到这个总和,我们需要改变应用于方形变量的权重年美元$:
$$w=压裂{西格玛^2}{n-1}$$
这样我们就有了我们需要的:
$$\bar{X}+S^2\sim\xi=X+wy\;\\\\text{where}x\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{N}\right),\;y\sim\chi'^2(n-1,0),\;w=\压裂{\西格玛^2}{n-1}$$
总之
$$\bar{X}+S^2\sim\tilde{\chi}^2\left(\frac{\sigma^2}{n-1},n-1,0,\mu,\sigma \right)$$