证明每当$n$是质数$\gt2时，$2^n\equiv2\bmodn$$

Question

我在解决问题时遇到了以下观察结果这imo问题$$2^n\equiv2\bmodn美元$$无论何时n美元$是质数$\gt 2美元$.

在为数字运行python脚本之后，直到$10^3$这给出了以下数字，上述数字是正确的：$$[3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 341, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 561, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 645, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997]$$

有趣的是，它们都是质数。然而，我不知道如何继续正式证明上述声明。任何洞察力都将有助于实现解决方案。

Answer 1

另一个提示：$2^n=（1+1）^n$.

Answer 2

费马小定理说$$a^p\相当于a\pmod p$$对于质数美元$和一个整数美元$.

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你的假设是这个定理的应用美元=2$.

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我建议你先尝试自己证明费马小定理，但如果你陷入困境，这里是我的证明：

间接地，该声明意味着$n^p-n$可除以美元$对于某个素数美元$.修复美元$。让我们先举几个例子：

$n^2-n=（n）（n-1）$。因为两个连续数字中的一个必须是偶数（的倍数$2$)，整个产品也是如此。

$n^3-n=（n）（n^2-1）=（n）（n+1）（n-1）$。使用第一个示例中的相同逻辑，这也有效！

每当我们考虑这种表达时，我们会得到$（n）（n^{p-1}-1）$找到一个一般表达式给了我们一个使用归纳法的想法。

基本情况：$n=1$：堵塞$n=1$在原始语句中，我们得到$1^p\等于1\pmod{p}$，这显然是真的，因为$1^p=1美元$不管怎样美元$是。

感应步长：$（n+1）^p\等于n+1 \pmod{p}$：我们必须证明，如果这种关系对n美元$，这一定是真的美元+1$.接通电源$n+1美元$到原始语句中，而不是n美元$，我们得到$（n+1）^p\equiv n\pmod{p}$使用二项式定理，我们得到$$（n+1）^p=n^p+{p\choose1}n^{p-1}+{p\ choose2}n^}p-2}+\cdots+{p\schoosep-1}n+1$$

自$｛p \ choose q｝=\frac｛p！｝｛q！（p-q）！｝$,美元$划分所有$p\选择q$对于$1\le q\le p-1美元$.利用这个事实并采取$\pmod{p}$在$（n+1）^p$，我们得到$（n+1）^p\等于n^p+1\pmod{p}$.既然我们知道了$n^p\等于n\pmod{p}$，我们得出结论$（n+1）^p\等于n+1 \pmod{p}$，如感应步骤中所需。

我们的入职培训已经完成。$\平方$