为什么梅森数如此之低？

Question

梅森数（表格中的数字2^N-1美元$)，与任何大于1的正整数一样，可以是首要的（没有除数¹除1）外，或混合成的（能够由两个或多个乘法产生²质数）。素数梅森数，称为（其他什么）梅森素数，之所以有趣，有很多原因，例如它们用于生成非常大的完全数^三以及在任何给定时刻已知最大素数成为梅森素数的趋势⁴（这是原始性测试异常容易的产物，相对于其他具有可比大小的数字，梅森数的测试也非常容易，近年来家庭计算 软件 致力于 这个目的).

尽管梅森素数稀少（截至2021年6月28日只有51个已知素数），但它们仍然比应有的要常见得多：

手头的证据表明，随机选择的梅森数比随机选择的相似大小的奇数更有可能成为素数。^[3] [维基百科，“梅森素数“，节”关于梅森素数".]

此外，即使是复合梅森数也往往很糟糕，因为因子相对较少且较大。例如，根据我的Prime95版本，M99346201的最小因子为26964590038118087464506577，即近27个十进制。这是在低的梅森数因子大小结束；即使使用现代计算能力，也只有十分之一的梅森数具有任何小到可以在合理的时间内通过直接方法找到的因子。

为什么梅森数相对于其他大小相当的奇数缺乏因子？

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¹：系数小于要计算的数字。

²：这里的“两个或多个”指的是所讨论数字的完全八次素因式分解中的项数总数，而不是不同的相同的主要因素。

^三：整数等于其除数之和（素数和复合数）。

⁴：从1952年1月30日（M521被证明是素数，几小时内M607紧随其后）到今天，情况一直是这样的，除了1989年8月6日的短暂差距（当时非梅森数$391581(2^{216193})-1$在1992年2月17日之前（M756839被证明是素数），勉强超过当时的记录持有人M216091。

Answer 1

扩展J.W.Tanner的答案：
任意素数第页不需要被下面的任何其他素数整除$\sqrt磅$.
对于梅森数，可以除的最小素数2^p-1美元$是2便士+1美元$.此外，任何除数q美元$属于$2^p-1$可以表示为$q=2公里+1$为了一些自然千美元$此外，$p\equiv\pm 1 \mod 8$.可能的除数q美元$也需要是素数，这种情况很少发生（比如90%的生成是通过2公里+1美元$整数不是素数）。
它表明，梅森数的除数比相同大小的任意数少，更有可能是素数。

Answer 2

产生素数的一个技巧是取一个有很多因子的数，然后加减$1$这样，至少原始数字中的任何因子都不会除以新的数字，所以许多可能性都被排除了。所以数学家们考虑过

$$2^n-1美元$$

$$2^n+1$$

$$n+1$$

$$-1$$

等等。