6
$\开始组$

我们有$\sum_{k=1}^{n}\arcsin（\sin（k））=a_n+b_n\pi$对于某些整数$a_n，b_n$。关于这些数字的行为，我有几个问题：

  • 对于其中n美元$做$b_n=0$和$a_n\ne 0$，即总和是非零整数？
  • 对于其中n美元$做$（a_n，b_n）=（0,0）$，即总和消失？
  • 除了这些子序列之外，基于数字证据，我推测$\lim_{n\to\infty}a_n/b_n=-\pi$，但我不知道如何证明。

回忆一下$\pi美元$是$3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102$等。我计算过$（a_n，b_n）$对于120000美元$下面是我的发现：

  • 不出所料，我发现亿美元$在收敛分子的分子的分子附近。例如，$b_n=0$和$a_n\ne 0$什么时候$n=\{1,8,16,52,60,961041401481841922282362722803163601036321036810367610371210372010375610376410380010380810384410352103888103896103932103940103976103984\}$$和$（a_n，b_n）=（0,0）$什么时候$$n=\{24,44,68,88112132156176200202442642883083323521036401036601036841033728103748103972103792103816103836103860103880101039041039241039481039681003992\｝$$特别是，当$b_n=0$和$a_n\ne0$，除了$n=1$我找到了$a_n=2$.
  • 除了这些值外，比率非常接近$\pi美元$.我们有$a{120000}/b_120000}=-\frac{248162}{78993}$，不同于$-\pi美元$大约$0.0000231474$。这里有一个图：

在此处输入图像描述

如有任何信息或见解，我们将不胜感激。我听说过几个连分数$\pi美元$我想知道这是否与此有关。

更新：我在oeis.org上查看了分子和分母，但什么也没发现。自$\arcsin（\sin（k））=x_k+y_k\pi$,$x_k，y_k\in\mathbb{Z}$，本质上是千美元$及其最接近的倍数$\pi美元$，很明显$x_k/y_k\大约-\pi$然后，也许可以使用CLT或另一个概率参数，检查随机变量的收敛性$a_n/b_n$.

$\端组$
5
  • $\开始组$ 您是否尝试过限制子序列$\{b_n\neq0}$，然后将$\{b2}$提供给逆序列百科全书？我觉得任何涉及到某种非理性度量或$\pi$收敛的问题都会以微小的重复出现或完全未解决而告终。不过，这个问题很好。 $\端组$
    – 德兹迪卡多
    评论 2020年12月5日17:33
  • $\开始组$ 你使用什么范围的电弧感应？这基本上是$\sum_k\left（k\bmod2\pi\right）$吗？ $\端组$
    – 史蒂文·斯塔德尼基
    评论 2020年12月5日19:39
  • 1
    $\开始组$ @StevenStadnicki，我使用的是$-\pi/2\le\arcsin（x）\le\pi/2$。例如，$\arcsin（\sin（10））=3\pi-10$和$\arcsin（\sin（13））=13-4\pi$。特别是，它并不像您建议的那样，因为$n=24$的总和会消失，但您的版本会给出$300-72\pi$。 $\端组$
    – 积分
    评论 2020年12月5日19:42
  • 2
    $\开始组$ 这可能很有用：序列$（k/（2\pi））$是等分布模1(en.wikipedia.org/wiki/Equidistribution_theorem网站)因此，对于任何黎曼积分函数，和$\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N} （f）（k/2\pi\}）$趋向于$\int_{0}^{1} （f）（t） 日期$。我想这有助于估计这个总数，但不确定。 $\端组$
    – 里奇罗
    评论 2020年12月6日19:53
  • 2
    $\开始组$ 实际上，我们可以简单地取$f（t）=\arcsin（\sin（2\pit））$，因为$\int_{0}^{1} 如果（t） dt=0$我们有$（a_n+b_n\pi）/n到0$。还需要证明$a_n，b_n\sim n$（直到常数）。 $\端组$
    – 里奇罗
    评论 2020年12月6日20:00

2个答案2

重置为默认值
三
$\开始组$

这可能有助于：$$\arcsin（\sin（x））=|（（x-\pi/2）\bmod（2\pi））-\pi|-\pi/2$$或同等$$\arcsin（\sin（x））=\left|x-3\pi/2-2\pi\left\lfloor\frac{x-\pi/2}{2\pi}\right\rfloor\right|-\pi/2$$

如果我们写$\arcsin（\sin（k））=x_k+y_k\pi$具有$x_k，y_k\in\mathbb Z$我们有$$x_k=运营商名称{sgn}（\cos（k））\，k$$和$$y_k=-\operatorname{sgn}（\cos（k））\left（\frac{3}{2}+2\left\lfloor\frac{k-\pi/2}{2\pi}\right\rfloor\right）-\frac}{1}{2{$$

$\端组$
三
  • $\开始组$ 感谢您更好地掌握了条款；我用你的注释更新了这个问题。 $\端组$
    – 积分
    评论 2020年12月6日20:33
  • $\开始组$ 你用跟踪错误的方法找到$y_k$了吗@贾格马思 $\端组$
    – 鲍勃·多布斯
    评论 2023年11月20日11:34
  • 1
    $\开始组$ @BobDobbs不，我得到$y_k$作为$（\arcsin（\sin（k））-x_k）/\pi$ $\端组$
    – 贾格马思
    评论 2023年11月20日11:53
1
$\开始组$

这很有趣！

为了好玩，我计算了比率$$R_k=-\frac{a{10^k}}{b_{10^k}}$$并获得以下序列$$\left\{1，\frac{17}{6}，3，\frac{22}{7}，\frac-{22}}{7{，\frac{931}{296}、\frac}10559}{3361}、\ frac{1093611}{348107}，\ cdots\right\}$$对于最后一个$$\压裂{1093611}{348107}-\pi=1.74\乘以10^{-6}$$

$\端组$
1
  • $\开始组$ 没有快速收敛，但也不可怕：） $\端组$
    – 积分
    评论 2020年12月6日20:33

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