对于c的哪个值，估计值是一致的？

Question

假设$X_1，\ldot，X_n$i.i.d.正态分布，平均值未知$\亩$和未知方差$\西格玛^2$.让美元\bar{十} _n（n）$是样本平均值。考虑估算美元\西格玛$.对于任何给定常数$c美元$，定义估计员\脚注{在这段视频后面为这两个部分。在（ii）中，我使用他的计算来缩短我所展示的工作。https://www.youtube.com/watch？v=MqeS2NWB3I4}

\开始{方程式*}\帽子{\sigma}_{n，c}=\frac{c}{n}\sum_{i=1}^n|X_i-\bar{十} _n（n）|\结束{方程式*}

\textbf{（i）}计算$E（\hat{\sigma}_{n，c}）$

\开始{方程式*}\开始{对齐}&E[\hat{\sigma}_{n，c}]=E\left[\frac{c}{n}\sum_{i=1}^{n}|X_i-\bar{十} _n（n）|\右]\\&=\frac{c}{n}E\left[\sum_{i=1}^{n}|X_i-\bar{十} _n（n）|\右]\\&=\frac{c}{n}E\left[\sum_{i=1}^{n}\sqrt{（X_i-\bar{X} n个)^2｝\右]\\&=\frac{c}{n}E\left[\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\left[（X_i-\mu）（\bar{X} n个-\mu）\right]^2}\right]\\&=\frac{c}{n}E\left[\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（X_i-\mu）^2-2n（\bar{十} _n（n）-\mu）^2+n（X_i-\mu，^2}\right]\\&=\frac{c}{n}\left[\sqrt{n\sigma^2-nE（（X_i-\mu）^2）}\right]\\&=\frac{c}{n}\left[\sqrt{n\sigma^2-n\frac{\sigma^2]{n}}\right]\\&\frac{c\sigma\sqrt{n-1}}{n}\结束{对齐}\结束{方程式*}

\textbf{（ii）}为了什么$c美元$是$\hat{\sigma}_{n，c}$的一致估计美元\西格玛$。解释\\\我们知道如果$lim_{n\to\infty}变量（hat{\sigma}_{n，c}）=0$。因此，我们显示：

\开始{方程式*}\开始{对齐}&\operatorname{Var}（\hat{\sigma}_{n，c}）=\operator name{Var}\left（\frac{c}{n}\sum_{i=1}^{n}|X_i-\bar{十} _n（n）|\右）\\&=E\left[\left（\frac{c}{n}\sum_{i=1}^{n}|X_i-\bar{十} _n（n）|\右）^2\右]-E\左[\frac{c}{n}\sum_{i=1}^{n}|X_i-\bar{十} _n（n）|\右]^2\\&=\frac{c}{n}E\left[\left（\sqrt{（X_i-\bar{十} _n（n）)^2} \right）^2\right]-\frac{c^2\sigma^2（n-1）}{n^2}=\\&\text{引用此处视频中的证据节省空间}\\&=\frac{c\sigma^2}{n}-\frac}c^2\sigma^2（n-1）}{n^2}\\&\sigma^2\left[\frac{c}{n}-\frac{c^2（n-1）}{n^2}\right]\结束{对齐}\结束{方程式*}

Answer 1

请注意$\operatorname E（X_i-\overline X）=0$和\开始{align}\operatorname{var}（X_i-\上行线X）&=\ operatorname{var}（X_i）+\ operator name{var}（\下行线X&=\西格玛^2+\压裂{\西格马^2}n-\压裂{2\sigma^2}n \\[8pt]&=frac{n-1}n\sigma^2。\结束{对齐}

所以\开始{align}\运算符名E\big（|X_i-\上划线X|\big）&=\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\sqrt}\frac{n-1}n}\cdot\sigma |z|E^{-z^2/2}\，dz\\[12pt]&=\sigma\sqrt{\frac{n-1}{2\pin}}\cdot 2\int_0^{+\infty}e^{-z^2/2}（z，dz）\\[10pt]&=2\sigma\sqrt{\frac{n-1}{2\pin}}\int_0^{+\infty}e^{-u}\，du\\[8pt]&=2\sigma\sqrt{\frac{n-1}{2\pin}}。\结束{对齐}