计算高度为H的满树数。

Question

我试图用上下文树来模拟某些随机过程，但我陷入了一个计算可能的完整数的组合问题百万美元$-最大高度的柳树H美元$.

A满百万美元$-ary树是一个根树，其中每个节点都有$0$或百万美元$子项，已标记1美元，\点，m$我把树的高度称为树根和树叶之间的最大距离。由于树可以通过它的叶子路径集来识别，所以我尝试列出第一个案例百万美元=3$要理解递归：

$a（0）=1$：只有树根本身。

$a（1）=1+1=2$:$\{\text{root}，\{1,2,3\}\}$

美元（2）=1+1+7$:$\{text{root}，\{1,2,3\}，\{11,12,13,2,3\{，\}1,21，22，23,3\}，\{2,31，32，33\}$

很明显，我可以表达

$$a（n+1）=a（n）+b（n+1）$$

问题是我不能给出这个词的表达式b（n）美元$。它是至少有一片叶子的树的数量n美元$-远离根，但我似乎找不到它的表达式。

此外，我不知道这些是否是我使用的术语的正确命名，也许我只是没能搜索到合适的关键字，但即使指出这个问题的更传统的措辞也会有所帮助。谢谢您！

Answer 1

根据OEIS A003095公司，最大高度的完整二叉树数n美元$满足重现性$a_{n+1}=a_n^2+1$;OEIS公司A135361说最多三元树的高度n美元$满足重现性$a_{n+1}=a_n^3+1$（他们没有指定整棵树，但这些数字与我计算的整棵树的高度一致$3$.）OEIS没有显示任何漂亮的闭合形式。

这些立即表明百万美元$-ary树可以满足递归$a_｛n+1｝=a_n^m+1$确实如此。让T美元$吃饱了百万美元$-最高一棵树美元+1$.如果T美元$不是只有一个节点的普通树，根，让$T_1，\ldot，T_m$是其根是根的子级的子树T美元$。这些已经满了百万美元$-最多高的柳树n美元$，所以有$a_n$其中，有百万美元$可能的选择$\langle T_1、\ldot、T_m\rangle$，所以有百万美元$这样的树T美元$.添加平凡树，我们就有了递归$a_{n+1}=a_n^m+1$.

然而，我对一个好的封闭形式不抱太大希望。