如何求解$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2+x_3+\cdots+x_k=\Phi_1\\x_1+2x_2+3x_3+\ cdots+kx_k=\Phi_2\end{matrix}\right$

Question

最近，我发现了这个问题：

给定两个自然数$\ Phi_1$和$\Phi_2美元$($\Phi_1，\Phi_2>1$)，确定以下未知系统的所有可能的自然整数解$x_1，x_2，\cdot，x_k$:$$\left\｛\ begin｛matrix｝x_1+x_2+x_3+\cdots+x_k=\Phi_1\\x_1+2x_2+3x_3+\cdots+kx_k=\Phi_2\右端{矩阵}$$哪里千美元$是正余弦，所以$k>2$.

为了解决这个问题，我首先表明，它必须$\Phi_2\geq\Phi_1$，因为如果我从第一个等式中减去第二个等式，我会得到：$$0x_1-x_2-2x_3-\cdots-（k-1）x_k=\Phi_1-\Phi_2\leftrightarrow x_2+2x_3+3x_4+\cdots+（k-1$$所以，我必须$\Phi_2\geq\Phi_1$因为$x_1，x_2，\cdot，x_k\geq0$.

什么时候？$k=2$，该系统可以用代换法或高斯法求解；当$k>2$?

例如，让百万美元$与系统相关的矩阵：$$M=\开始{bmatrix}1&1&1&\cdots&1&\Phi_1\\1&2&3&\cdots&k&\Phi_2\结束{bmatrix}$$

可以百万美元$用于查找$（x_1，x_2，\cdot，x_k）$? 或者还有其他方法吗？

Answer 1

你要的是$\Phi_2美元$进入之内$\ Phi_1$部分。参见示例。这个维基百科部分用于计数的递归关系。有一种算法可以在Knuth的计算机编程的艺术，音量$4$，第节$7.2.1.4$，算法H美元$在p。$392$。作为求解这类变量限制在特定整数范围内的线性方程组的通用方法，您可以考虑整数规划.

Answer 2

有一件事可能至少有部分帮助（但是太大，无法发表评论)就是用一个三角形矩阵

$${\bf T}=\开始{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{bmatrix}^T$$现在，用$\bf我$是单位矩阵和${\bf x}^T=[x_1，\cdots，x_k]$ $$[｛\bf I_2｝\otimes｛\bf 1｝｝^T]｛\bf\bbegin｛bmatrix｝\bf I\\bf T\end｛bmatrix｝x}=\begin{bmatrix}\Phi_1\\Phi_2\end{bmatricx}$$

这并没有利用问题的任何数论知识，只有线性代数。

出于计算目的，我们可能需要进行替换$$\案例{tk=x{k+1}-x{k}\\t1=x_1}$$这允许我们使用$\bf D美元$矩阵，而不是千美元$将更加稀疏：

$${\bf D}=\开始{bmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$$

只有两条非零对角线。

Answer 3

如您所述：

$$x_2+2 x_3+\ldots+（k-1）x_k=\Phi_2-\Phi_1\tag{1}$$从第一个方程中减去，得到$$x_1-x_3-2 x_4-\ldots-（k-2）x_k=2\Phi_1-\Phi_2\tag{2}$$

给定整数$\Phi_1、\Phi_2、x_3、\ldot、x_k$，方程式（1）和（2）确定整数$x_1$和$x_2美元$现在如果你想$x_i第0页$，你需要$$\eqalign{\Phi_2-\Phi_1-2 x_3-3 x_4-\ldots-（k-1）x_k&\ge 0\cr2\Phi_1-\Phi_2+x_3+2x_4+\ldots+（k-2）x_k&\ge 0\cr}\tag{3}$$可以重新排列为的边界$x_3$:$$\压裂{\Phi_2-\Phi_1-3 x_4-\ldots-（k-1）x_k}{2}\ge x_3\ge-2\Phi_1+\Phi_2-2 x_4-\ ldots--（k-2）x_k \tag{4}$$

上限大于或等于下限的条件是：$$3\Phi_1-\Phi_2+x_4+2 x_5+\ldots+（k-3）x_k\ge 0\tag｛5｝$$

让$x_4，\ldot，x_k$是（5）为真的任何自然数。然后$x_3$可以是满足（4）的任何自然数，并且$x_1$和$x_2美元$由（2）和（1）得出。

然而，你想要$x_3\ge 0美元$，所以这提出了一个要求

$$\Phi_2-\Phi_1-3 x_4-\ldots-（k-1）x_k\ge 0\tag{6}$$

和（5）和（6）转换为上下限$x4美元$.等等。。。