$n$guests，每位来宾都会带来一份奖品，奖品可以通过多少种方式发放，这样就不会有人得到他们带来的奖品？

Question

每个参加聚会的人都被要求携带奖品。此人晚会的策划工作已经安排好了，颁奖数量与实际数量一样多是客人，但任何人都可能赢得任何数量的奖品。如果有n美元$各位来宾，奖品可以用多少种方式发放，这样谁也得不到他们带来的奖品？

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我的回答是$（n-1）^n$，因为我以为有美元（n-1）$每个可能的奖品n美元$客人。然而，我的答案是错误的。我得到一个暗示，它将涉及到包含-排除原则，我不知道如何从这个方向解释这个问题。

Answer 1

让我们把每个奖品从1分到n分，p1、p2、p3。。。pn码和聚会上的客人g1、g2、g3。。。荷兰，其中圆周率是客人送的奖品吗吉。您的目标是确保您没有将奖品与具有相同指数的客人进行匹配。在这种情况下，您需要确保：p1不转到g1，p2不转到g2，p3不转到g3，依此类推。让我们考虑一下|S公司|至少有一位客人获得了同样的奖品。在这种情况下，我们可以写|S公司|这样地：$$|S|=p1\杯子p2\杯子p3\杯子。。。\罩杯pn$$这可以翻译为“礼物1送给客人1，礼物2送给客人2，依此类推”。如果我们扩展这个，我们会得到这样的结果：$$|S|=\binom{n}{1}-\binom}{n}}+\binom[n}{3}+…+（-1）^n\binom{n}{n}$$

在你的情况下，你需要的是相反的结果（人们得不到相同奖品的次数），所以你需要做的是从你可以分配奖品的总次数中减去|S公司|. 分配n个奖品的方式总数为$n^n美元$（不是n-1，因为当对方没有收到任何东西时，你需要计算一下。因此：

$$n^n-|S|$$

Answer 2

减额计算的是每一位客人只获得一个奖品的情况。然而，OP的措辞表示，每位客人都可以获得任意数量的奖品（即。$0$到n-1美元$因为他/她无法获得自己的奖品）。在这种情况下，正确的答案是$（n-1）^n$，因为每个n美元$奖品可以分配给任何一个美元（n-1）$收件人。也就是说，你的老师给你打错分是错误的。

如果你的老师坚持使用包容性排除，那么让$A_i$是一套安排s.t.人$i美元$得到他/她自己的礼物。然后I-E给出：

$answer=n^n-\sum_i|A_i|+\sum_{i<j}|A_2\cap A_j|-\sum_}i<j<k}|A_ i\cap A_ k|+$

现在，$|A_i|=n^{n-1}$自从另一个n-1美元$礼物是不受限制的，每个人都可以去任何一个n美元$收件人。同样，$|A_i\cap A_j|=n^{n-2}$因为另一个n-2美元$礼物是不受限制的，每个人都可以去任何一个n美元$收件人。同样，对于更高的术语。因此：

$answer=n^n-{n\choose1}n^{n-1}+{n\choose2}n^}n-2}-{n\ choose3}n ^{n-3}+…=\求和{k=0}^n{n\选择k}（-1）^kN^{n-k}$

但最后一个求和就是$（n-1）^n$.