首先让我给你一个函数极限的定义。我将尝试用它来实现一些通用性，所以让$（M，d_M），（N，d_N）$是度量空间（如果您愿意，您可以考虑$\mathbb{R}^2$或$\mathbb{R{$，使用规范$|\cdot||_2$和$|\cdot|$导出的常规度量）：
定义：设$f:M\到N$，$x_0$为N$中$M$，$a\的极限点。然后$$\lim_{x\到x_0}f（x）=a$$如果$\lip_{n\to\infty}f（x_n）=每个序列的$（x_n）_{n\inmathbb{n}$在$M\setminus\{x_0\}$s.t.$\lim到infty{x_n=x_0$。
这是限额的$\epsilon$-$\delta$-标准的替代公式，即与此等价。另一个用途是简化空间$\mathbb｛R｝^n$中序列的收敛性：
定理：设$v_k=（x_1^{（k）}，\dots，x_n^{$（v_k）_｛k\in\mathbb｛N｝｝$收敛，当每$（x_i^｛（k）｝）_｛k\in\mathbb｛N｝｝$收敛，$$\lim_｛k\ to \infty｝v_k=\begin｛pmatrix｝\lim_｛k\ to \infty｝x_1^｛（k）｝\\vdots\\lim_｛k\ to \infty｝x_N^｛（k）｝\end｛pmatrix｝$$
换句话说，$\mathbb｛R｝^n$中的序列收敛，当每个坐标序列都收敛时，并且极限是可计算的。（我现在不证明这一点，但如果您想亲自尝试，一个简单的方法是首先显示$\mathbb{R}^n$上的每个范数都是等价的，然后为这个问题选择一个合适的范数（提示：$\infty$-norm））
现在，让我们来解决您的问题，并评估$$\lim_｛（x，y）\to（0,0）｝f（x，y）=\lim_｛（x，y）\to（0,0）｝\frac｛x^3y｝｛x^2+y^2｝$$
我们必须证明，对于每个收敛到$（0,0）$的序列$（v_n）_{n\in\mathbb{n}}$in$\mathbb{R}^2\setminus\{（0,O）\}$真实的序列$（f（v_n））{n\in\mathbb{n}}$收敛到相同的极限。这个极限就是函数在该点的极限。
设$（v_n）_{n\in\mathbb{n}}$是$\mathbb{R}^2\setminus\{（0,0）\}$s.t.$\lim_{n\to\infty}v_n=（0,零）$中的一个序列。然后如上所述，对于$v_n=（x_n，y_n）$，$\lim_{n\to\infty}x_n=0$和$\lim _{n\to \infty}y_n=0$。注意，这些限制现在发生在$\mathbb{R}$上。
现在，对于任何$n\in\mathbb{n}$s.t.$x_n\neq0$，我们都有
$$|f（v_n）|=|\压裂{x_n^3y_n}{x_n ^2+y_n^2}|=\压裂{|x_n|x_n^2|y_n|}{xn ^2+y_n^2{leq\压裂{|x_n |xn ^2 |y_n |}{x_n^2}=|x_ny_n|$$
如果$x_n=0$，那么无论如何$|f（v_n）|=0\leq|x_ny_n|$。因此$|f（v_n）|\leq|x_ny_n|$f.a.$n\in\mathbb{n}$。由于$\lim_{n\to\infty}y_n=0$和$\lim _{n\to \infty}x_n=0$s，我们有$\lim2 _{n\ to \inffy}|x_ny_n|=0$，因此通过Sandwich-Theorem和
$$0\leq|f（v_n）|\leq| x_ny_n|$$
我们导出$\lim{n\to\infty}|f（vn）=0$，即$\lim{n\to\ infty{f（vn=0$。
由于这个序列$（v_n）_{n\in\mathbb{n}}$是任意的，所以我们得到$\lim_{（x，y）\to（0,0）}f（x，y）=0$。
最后，我想指出的是，通过考虑每个可能收敛到某一点的序列，这种方法非常符合你的直觉，即考虑通向这一点的每一条可能的路径，特别是在更高的维度中，你真的可以自由地走一条路径有一个序列。
编辑：注意，在计算极限时，我使用了很多经典的一维实数分析中的概念，因为我们正在研究一个进入$\mathbb{R}$的函数。例如，我使用$$\lim_{n\to\infty}a_n=0\text{iff}\lim_a_n=0$$来表示实数序列$（a_n）$以及Sandwich-Theorem，即。
定理：如果$（a_n）{n\in\mathbb{n}}，（b_n）_{n\in \mathbb{n}，，（c_n _{n\to\infty}a_n=lim_{n\t到infty{c_n$，然后$$lim_}b_n=lim到infty$$
这当然很大程度上依赖于现实的秩序。但即使在一般情况下，我个人也发现简化为序列是一种可以理解的方法。注意，恐龙蛋也有很好的方法来解决这个问题，在哪里一定要看一看。
EDIT2（编辑2）：正如马克·维奥拉指出的那样，每一条可能的路径是一个非常笼统的语句，根本没有在$xn$和$yn$之间强加关系。您可以特别正式地观察到，对于$（（x_n，y_n））_{n\in\mathbb{n}}$的收敛，坐标收敛是必要的和充分的分别地.
