广义Cayley公式的证明

Question

我想证明以下方程式：

$$x_1x_2x_3…x_n（x_1+x_2+…x_n）^{n-2}=\sum_Tx_1^{d_{T（1）}}x_2^{d_{T（2）}}。。。x_n^{d_{T（n）}}\标记1$$

其中和是$K_n$中所有生成树$T$上的和，$d_{T（i）}$是$i$在$T中的度$

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我听说这叫做Cayley的广义公式，它是$n$顶点中$trees$的数量：

$n^｛n-2｝\标签2$

只有$（1）$和$（2）$之间的形态相似性是幂$n-2$。

我认为在这种情况下归纳法可能工作得很好，但老实说，$induction$本身并不是向我证明某些东西以揭示自己的数学身份的有效方法，包括这种情况，即$（1）$的证明。

有什么线索可以用组合学和代数的方法证明这个方程吗？

Answer 1

让我们把$（1）$的两边除以$x_1\dots x_n$，然后我们必须证明$$（x_1+x_2+\点+x_n）^{n-2}=\总和_{T} x_1^{d_{T（1）}-1}x_2^{d_}T（2）}-1{点x_n^{d_{T（n）}-1}。$$但现在的论点基本上与普吕弗证明注意，每个顶点$T（i）$在相应的Prüfer序列中出现$d_{T（i。另一方面，普吕弗序列中的每个项可以取$1$到$n$之间的任何值，因此它对应于一个因子$x_1+\dots+x_n$。我们有$n-2$这样的因子，它产生左手边。要从$（1）$导出$（2）$，只需让$x_1=\dots=x_n=1$。

Answer 2

您可能已经注意到，将所有$x_i$设置为$1$可以恢复$n$顶点上的树数为$n^{n-2}$，这与跨越$K_n$的树数相同。

为了得到（1）的双射证明，让$x_1，\ldots，x_n$是标记$K_n$顶点的数字。给定一个生成树$T$，注意T}x_ix_j=\prod_{i=1}^nx_i^{d_i（T）}.$$（左边的产品位于$T$的边缘上方。）

对所有生成树$T$求和，我们简化为显示T}x_ix_j中的$$\sum_{T}\prod_{（i，j）=x_1x_2\ldots x_n（x_1+x_2+\ldots+x_n）^{n-2}$$

请注意，右边是度$2n-2$的所有单项式的总和，其中每个变量的度至少为$1$。现在，给定$n-1$edges$（u_i，v_i）$在$K_n$中的任意集合$S$，我们可以形成度$2n-2$monomial$$m（S）=\prod_{i=1}^{n-1}x_{ui}x_{v_i}.$$此外，如果$S$碰巧是生成树，则每个变量将至少出现一次。

为了完成证明，只要证明$m$是生成树集合和度为$2n-2$的单项式之间的双射，其中每个$x_i$至少出现一次就足够了。你能从这里拿走吗？