如果$M$是局部鞅，并且$τ：=\inf\left\{t\ge0:\left|M_t\right|\ge\varepsilon\right\}$，则$M^τ$是鞅

Question

让

• $（\Omega，\mathcal A，\operatorname P）$是概率空间
• $（mathcal F_t）_{t\ge0}$是$\mathcal a的过滤$
• $M$是$M_0=0的$（\Omega，\mathcal a，\operatorname P）$上的连续局部$\mathcall F$-鞅$

设$\varepsilon>0$。请注意，$$\tau:=\inf\left\{t\ge0:\left|M_t\right|\ge\varepsilon\right\}$$是一个$\mathcal F$-停止时间，其中$$\left| M^\tau\right| \le\varepsilon\；。\标签1$$

我们如何得出$M^\tau$是$mathcal F$-鞅的结论？

如果$\tau$是有界的，那么$M^\tau$将是一个局部$\mathcal F$-鞅可选停止定理因此是$\mathcal F$-鞅乘以$（1）$。然而，由于$\tau$没有边界，我不知道我们可以得出结论。

Answer 1

让$s<t$。我们必须显示$E[M_t^\tau\mid\mathcal{F} _秒]=M_s^\tau$几乎可以肯定。

正如您所提到的，对于每一个$n$，我们都知道$（M^\tau）^{\sigma_n}=M^{\tau\wedge\sigma_n}$是一个鞅，其中$\sigma_n$是停止时间的局部序列。因此$E[M^{\tau\wedge\sigma_n}_t\mid\mathcal{F} _秒]=M^{\tau\wedge\sigma_n}_s$a.s.（*）

（如果您担心这里的停止时间是有界的，可以用$\sigma_n\wedge n$替换它，假设每个$\sigma_n$都有界，而不失一般性。）

现在$M_s^{\tau\weedge\sigma_n}=M_{s\weedge\tau\wide\sigma_n}$。假设$\sigma_n\uparrow\infty$a.s.，那么$M_s^{\tau\wedge\sigma_n}\几乎可以确定为M_s^\tau$。用$t$代替$s$也是如此。此外，对于所有$n$，$|M_s^{\tau\wedge\sigma_n}|\le\varepsilon$a.s。

通过条件支配收敛定理，利用支配函数$\varepsilon$，我们可以得出$E[M^{\tau\wedge\sigma_n}_t\mid\mathcal{F} _秒]\到E[M^{\tau}_t\mid\mathcal{F} _秒]$a.s.所以我们传递到（*）两边的a.s.极限，得到结果。

请注意，这个相同的参数显示了可选停止定理的以下版本，这真的很好知道：

设$M_t$是连续鞅，$\tau$a（不一定有界！）停止时间。假设进程$M_{t\wedge\tau}$是有界的，即存在一个常量$C$，对于所有$t$，$|M_{t_wedge\tao}|\le C$a.s。（您可能会说：“$M$被绑定到时间$\tau$。”）然后$E[M\tau]=E[M_0]$。

这是Evan Aad在我的评论中链接的问题中提到的版本。更一般地，如果$\{M_{t\wedge\tau}:t\ge0\}$是一致可积的，也成立。作为鞅的一般原理，对于有界停止时间$\tau$，如果过程上限为$\tau$。