使用组合数学$\sum\limits_{k=0}^n（k-1）^2D_n（k）=n！$进行证明。

Question

使用组合数学$\sum\limits_{k=0}^n（k-1）^2D_n（k）=n！$进行证明。

$D_n（k）$是正好有$k$个数字在其位置上的$n$个数字的排列数。

通过一些计算，我发现$n=1$不是真的，因此还应添加条件$n\ge 2$。我有代数证明在这里。但我需要一个使用组合学的。对于表示$（k-1）^2$来说，扩展它可能很有用，因为我们不能使用$（k-1）^2$。所以我们得到了：

$\sum\limits_{k=0}^n k^2*D_n$

很容易证明第二个是$-2n！$第三个是，$n！$所以我们必须证明：

$\sum\limits_{k=0}^n k^2*D_n（k）=2*n$

但我该怎么做呢？

Answer 1

$\sum\limits_{k=0}^n k^2*D_n+\总和\limits_{k=0}^nk（k-1）*D_n（k）$

为了找到$\sum\limits_{k=0}^nk（k-1）*D_n（k）$的数量，请注意它等于$\sum\limits_{k=2}^nk（k-1）*D_n（k）$。这意味着要让$k$的人坐在自己的座位上，选择一个老板和一个经理。为此，我们可以先选择老板和经理（$n（n-1）$），然后随机放置另一个，这样我们就可以：

$$\sum\limits_{k=0}^n k^2*D_n（k）=2*n$$