证明存在正整数$x_1，x_2，\ldots，x_n\geq 1$，使得$x_1x_2\ldotsx_n=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$

Question

证明对于任何自然数$n$和任何自然数$a_k，k=1，\ldots，n，\{a_1，a_2，\ldot，a_n\}=\{1,2，\ldos，n}，$都有正整数$x_1，x_2，\ldots，x_n\geq 1$，这样$x_1x_2\ldotsx_n=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$$

由于$\｛a_1，a_2，\ldots，a_n\｝=\｛1,2，\ldots，n\｝$，我们可以假设$a_k=k$，并且我们的方程变为$x_1+2x_2+3x_3+\cdots+nx_n=x_1x_2\cdots x_n.$$例如，如果$n=2$，我们需要$x_1+2x_2=x_1x_2$。然后我们有$x_1（x_2-1）=2x_2$，所以$x_1=\dfrac{2x_2}{x_2-1}$，所以$x_2=2$和$x_1=4$。对于$n=3$，我们需要$x_1+2x_2+3x_3=x_1x_2x_3.$$然后$x_1（x_2x.3-1）=2x_2+3x_3$和$x_1=\dfrac{2x_2+3xr3}{x_2x3-1}$，我不知道如何在这里选择$x_I$。

Answer 1

对于$n=3$，您有$x_1=\dfrac{2x_2+3x_3}{x_2x_3-1}$。你想让除法取偶数，一个简单的方法是选择$x_2=2，x_3=1$，所以分母是$1$。现在你可以计算$x_1=7$。同样的方法适用于较高的$n$。您有$x_1=\dfrac{2x_2+3x_3+\ldots+nx_n}{x_2x_3\ldots x_n-1}$。对于$3\le i\le n$，选择$x_2=2，x_i=1$，然后让$x_1$显示它可能的值，即$1+frac 12n（n+1）$

Answer 2

索赔。设$n\geq 2$为整数。对于任意整数$a_0、a_1、a_2、\ldots、a_n$和$a_0\geq 0$以及$a_i>0$（对于$i=1,2、\ldot、n$），存在正整数$x_1、x_2、\ltots、x_n$，使得$$\prod_{i=1}^n，x_i=a_0+\sum_{i=1{n^n，a_ix_i\$$

为了证明上述说法，我们只需要验证案例$n=2$；通过设置$x3=x4=\ldots=xn=1$，情况$n>2$可以减少为情况$n=2$。对于$n=2$，等式$x_1x_2=a_0+a_1x_1+a_2x_2$等价于$$\左（x_1-a_1\右）\左（x_2-a_2\右）=a_0+a_1a_2\$$因此，$x_1=a_1+1$和$x_2=a_0+a_1a_2+a_2$形成了一个解决方案。