关于$\sqrt｛n｝的收敛精度的估计$

Question

我注意到，当分子和减数都是大数时，由他的连续分式展开得到的对$\sqrt{n}$的最佳有理逼近的精度，近似地由分子和分母中的数字之和给出。例如，对于$\sqrt{2}$，收敛的

$1023286908188737/723573111879672$正确到29位。分子中的数字为$16$，分母中的数字是$15$，它们的总和等于$31$。因此，精确度$p$大约等于分母$d_1$和分子$d_2的位数之和$

$p\约为d_1+d_2$

下一个汇聚是247043131948081/1746860020068409$，并更正为31个位置。分子和分母上的数字都等于16，所以它们的和是32。我们再次看到

$p\约为d_1+d_2$

您可以使用以下列表查看更多示例

http://www.zyvra.org/lafort/sqr2.htm

如何证明，对于分子和分母中的“大数”，精度近似等于它们的数字之和？

Answer 1

我认为哈代和赖特已经讨论过这个定理。如果我没记错的话，肖克利也进行了一次非常愉快的讨论。可以通过数学归纳法很容易证明的核心思想是，如果$$\frac{p_n}{q_n}$$是收敛于$\sqrt D$的连分式的$n^{th}$，它们满足Pell型方程$$p_n^2-Dq_n^2=（-1）^ns_{n+1}$$由于$s_ns_{n+1}=D-r_{n+1}^2$，$s_n，\，s_{n+1}，\$$\压裂{p_n^2}{q_n^2{-D=\压裂{（-1）^ns_{n+1}}{q_n^2}$$或者$$\压裂{p_n}{量子}-\sqrt D=\frac{（-1）^ns_{n+1}}{q_n^2\left（\frac{p_n}{q_n}+\sqrt D\right）}$$对于大$n$，分母非常接近$2\sqrt Dq_n^2$，分子的绝对值在$D$的上方有界，因此误差小于$\frac{\sqrt D}{2q_n^2]$，但始终至少约为$\frac1{2qn^2\squart D}$。