证明两个给定向量是正交的

Question

我在$\mathbb{R}^n$中得到向量$\mathbf{w}，\mathbf{v}，\ mathbf}u}$，这样$\mathpf{u}\neq0$和$\mat血红蛋白f{w{=\mathbf{v}-\frac{\mathbf2{u}\，\bullet\，\mathbf{v}}{\|mathbf\u}\|^2}\bullet_mathbf[u}$。我被要求证明向量$\mathbf{w}$与$\mathbf{u}$正交。

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到目前为止，我已经写出了正交的定义：两个向量是正交的，当且仅当它们的点积为零。

所以我们需要证明的是$\mathbf{w}\bullet\mathbf}u}=0$，其中$\mathbf{w{bullet\mathbf{u}$定义为$\mat血红蛋白{w}^T\bullet\mathbf{u}$。

然而，我在这个问题上已经坚持了大约一个小时，从现在起还没有取得任何重大进展。我们如何证明向量是正交的？

Answer 1

我们有：$$\mathbf w\bullet\mathbf u=\left（\mathbf{v}（v）-\压裂{\mathbf{u}\bullet\mathbf}{\|mathbf[u}\|^2}\bullt\mathbf u\right）\bullet_mathbf u$$分发$\mathbf{u}$：$$\mathbf{v}\bullet\mathbf{u}-\压裂{\mathbf{u}\bullet\mathbf}{\|mathbf[u}\|^2}\bullt\mathbf u\bullet_mathbf u$$我们知道$\|\mathbf u\|^2=\mathbf-u\bullet\mathbf-u$，所以取消：$$\mathbf v\bullet\mathbf u-\mathbf-u\bullet_mathbf v=0$$