找出$k$的两个值，其中$2x^3-9x^2+12x-k$具有双实数根。

Question

找到$k$的两个值，其中$2x^3-9x^2+12x-k$有一个双精度实际根。

我找到了一种方法，它等于$2x^3-9x^2+12x-k=2（x-r）^2（x-c）$$

展开系数并使其相等，我得到方程组：\开始{array}\空格2（c+2r）&=9\\2r（2c+r）&=12\\-2r^2c&=k\\\结束{数组}

解决这个问题，我找到了解决方案$k=4.5$

然而，我想知道是否有比一个我已经找到的，或者一般来说，如果有其他解决方案问题。

Answer 1

这里有一个更简单的方法。如果多项式$P_k（x）=2x^3-9x^2+12x-k$有一个双实数根$r$，那么$P_k'（r）=0$。

对于这样的根，您得到$P_k'（r）=6r^2-18r+12=0$，即$r=1$或$r=2$。

然后求解关于$k$的$P_k（r）=0$。更准确地说：

• 如果$r=1$，则需要$P_k（1）=5-k=0$，即$k=5$。
• 如果$r=2$，则$P_k（2）=4-k=0$，即$k=4$。

Answer 2

你可以找到f（x）=2x3−9x2+12x的相对最大值（或最小值），方法是考虑它的导数，然后相应地选择k。这样，您就不需要显式地查找根。

Answer 3

理论背景。

一般来说，如果$\alpha$是多项式$f（x）$的倍数根，那么我们可以写：$$f（x）=（x-\alpha）^2g（x）$$

对两边求导，我们发现：$$f'\左（x\右）=\左（x-\阿尔法\右）\左[2g\左（x\右）+\左（x-\阿尔法\右）g'\左$$

显然，$f'（\alpha）=0$，所以$\alpha$似乎也是$f'\left（x\right）$的根。

Answer 4

发件人$2x^3-9x^2+12x-k=2（x-r）^2（x-c）$，使用维埃塔公式：

$$-\frac{-9}{2}=r+r+c\表示c=\frac{9}{2{2r$$ $$\frac{12}{2}=r\cdot r+r\cdot c+c\cdot r\implies6=r^2+2（9/2-2r）r$$

因此$6=r^2+9r-4r^2$或$3（r^2-3r+2）=0表示r=1，2$.使用余数定理，$2（1）^3-9（1）|2+12（1）-k=0$即k美元=5$，或$2（2）^3-9（2）|2+12（2）-k=0$即k美元=4$.