用组合学求这个方程的解的个数

Question

这个方程有多少解$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=21$$其中每个x美元$是一个非负整数，这样$$0\le x_1\le3，1\le x_2\lt4\text{和}x_3\ge15$$

我的尝试：

所以我首先考虑了条件$x_1\ge0，x_2\ge1$和$x_3\ge15$

我发现，具有此限制的所有可能组合如下9美元\选择5$.但这些不包括其他限制$x_1$和$x_2美元$.

所以我找出了以下情况的组合$x_1\ge4$和$x_2\ge4$，目的是从以下总组合中减去这些9美元\选择5$.

然而，我最终没有得到正确的答案$106$你能帮我一下吗？我使用了公式$n-r+1\选择r$

Answer 1

这个问题应该相当于$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5美元$具有$0≤x_1≤3$和$0≤x_2<3$和$x_3\ge 0美元$。公式应为$n+r-1\选择{r-1}$威奇给予${9\选择4}=126$没有限制的解决方案。应用我们需要的限制来消除$x_1=4美元$（共有4个）和$x_1=5$（一）。也要摆脱$x_2=3$（根据上面的公式，它是${2+4-1\选择4-1}=10$)和$x_2=4($4种解决方案$)$和$x_2=5$($1$解决方案）。由于没有重叠，我们可以添加所有这些实例，并从126个实例中取出它们来给出$126-(1+4+10+1+4)=106$

Answer 2

解决方案的数量$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5$$在[0,3]、[0,2]$和$x3、x4、x5\geq 0$的约束条件下，由乘积$z^5$的系数给出：$$（1+z+z^2+z^3）（1+z+z^2）$$即通过泰勒级数中$z^5$的系数，大约$z=0$$$f（z）=\frac{（1-z^4）（1-z*3）}{（1-z）^5}=（1-z|3-z^4+z^7）\cdot\sum_{n\geq0}\binom{n+4}{4} z（z）^n个$$即：$$\binom{5+4}{4}-\二进制{2+4}{4}-\binom{1+4}{4}=\color{red}{106}$$

Answer 3

学生离散数学及其应用解决方案指南，Jerrold W.Grossman，Kenneth H.Rosen，第222页