梅森素数与三角/完全数的关系

Question

我是一个新用户，只有一个大学二年级学生对数学的理解，所以请耐心等待。

我正在读一本名叫《辛普森一家及其数学秘密》的书，作者在书中简要讨论了梅森素数和完全数。在他的发言中，有两个引起了我的兴趣：

1. 每个完全数也是一个三角形数，并且
2. 每个完美数都包含一个梅森素数作为其除数之一。

读完这篇文章，以及完美数字是多么罕见，我想尝试设计一种从梅森素数生成完美数字的方法。我认为最好的方法是取一组连续整数的和，其中包括梅森素数。我从小梅森素数开始手工测试：

$$3 + 2 + 1 = 6$$$$7 + 6 + 5 + … + 2 + 1 = 28$$

使用高斯公式计算较大值：

$$31\cdot\frac{31+1}{2}=496$$

我原以为必须将更大的连续整数加到和中，才能得到梅森素数对应的完美数，但在使用这种方法几次之后，梅森素数似乎总是连续整数序列中最大的数字，换句话说，是三角数的“基数”。

我的问题是，这对所有的完美数字都是真的吗？

此外，作者还声明，梅森素数可以使用以下公式生成：

$2^p-1$其中$p$是任何质数

但作者也指出，这个公式并不总是产生质数。如果素数是无限的，那么上述等式产生的梅森素数越来越少，是否是因为插入了越来越大的已知素数，从而导致寻找新的完美数的问题？

感谢您抽出时间阅读本文。

Answer 1

众所周知即使完全数的形式

$$\dfrac｛｛M_p｝（M_p+1）｝｛2｝$$

其中$M_p=2^p-1$是梅森素数。因此，即使是完美的数字三角形.

然而，目前尚不清楚奇数是否为完全数

$$q^k n^2美元$$

（使用Euler质数$q$）可以是三角形的。（请参见MO问题了解更多信息。）然而，众所周知，这样的奇数完全数必须是非平凡倍数三角形数的

$$T（q）=\dfrac{q（q+1）}{2}$$