高度小于$h的完整二叉树的数量是多少$

Question

给定整数$h$

$N（h）$高度小于$h$的完整二叉树的数量是多少？

例如$N（0）=1，N（1）=2，N（2）=5，N（3）=21$（如特拉维斯J在他的部分回答中）我找不到$N（h）$的任何表达式，也找不到合理的上界。

编辑在一个完整的二叉树（有时称为适当的二叉树法）中，除叶子外的每个节点都有两个子节点。

Answer 1

以下是我对这次有趣的讨论的贡献。通过节点数引入$T_{\len}（z）$高度最多为$n$的完整二叉树的OGF。现在，一棵树的高度最多为$n$，或者树的高度最大为$n-1$，或者高度正好为$n.$。后一棵树在根节点的左侧或右侧有一棵高度为$n-1的子树，或者根有两个子树的高度为$n-1$$T_{len}=T_{len-1}+2z（T_{leN-1}-T_{len-2}）T_{le-n2}+z（T_$$其中$T_{\le 0}=1$和$T_{\ le 1}=z+1$观察$$T_{=n}=T_{\len}-T_{\len-1}$$一些代数产生简化形式$$T_{\len}=T_{\le n-1}+z T_{\ler n-1}^2-z T_{len-2}^2$$例如，这会为最多四棵树的节点数生成以下生成函数：$${z}^{15}+8\，{z}^{14}+28\，{z}^{13}+60\，{z}^{12}+94\，{z}^{11}+116\，{z}^{10}\\+114\，{z}^{9}+94\，{z}^{8}+69\，{z}^{7}+44\，{z}^{6}+26\，{z}^{5}+14\，{z}^{4}+5\，{z}^{3}+2\，{z}^{2}+z+1$$对于计数，计算序列$T_{len}（1）$，它会产生$$1, 2, 5, 26, 677, 458330, 210066388901, 44127887745906175987802,\\1947270476915296449559703445493848930452791205，\ldots公司$$这是OEIS A003095公司并且具有闭合形式的重复$$t_n=t_{n-1}+t_{n-1}^2-t_{n-2}^2$$$t0=1$和$t1=2$树的高度确切地$n$由$$tn-t{n-1}$$，它给出了序列$$1, 3, 21, 651, 457653, 210065930571, 44127887745696109598901,\\1947270476915296449559659317606103024276803403$$哪个是OEIS A001699公司.

备注。几年后回顾这篇文章，我们发现我们还没有使用完整二叉树的定义，例如维基百科因为我们承认树上有一个孩子是叶子。但OEIS表示，我们有正确的价值观，如何解释这一点。我们可以通过不允许叶（大小为零的树）来计算完整的二叉树，从而使$T_{\le0}（z）=0$和$T_{\tle1}（z）=z.$这将循环的起始值指定为$0$和$1$，下一个值为$2。$然而，$1$和$2$是普通二叉树的起始值，这解释了匹配值（移位序列和预加一个零项）。因此，进行了上述计算。（注意：我们将高度0作为叶的高度，将高度1作为单体的高度。）

Answer 2

（部分回答）首先，$N（3）=21$。其次，可能更有用的是，您可以通过向高度为$h-1$的树上每个非空的最低顶点子集添加两个子元素来构造高度为$h$的所有树。所以，如果在高度$h-1$处有树$T_{1}，。。。，T_{n}$和树$T_{i}$在最低级别上有$v_{i}$vertices，那么级别$h$上的树数为

$$\sum_{i=1}^{n}（2^{v_{i}-1）$$

不幸的是，现在似乎还不清楚如何计算新建树木中最低层的叶子数量。但这确实提供了一个构建所有此类树的算法。

Answer 3

您可以将$T（h，b）$定义为高度为$h$且底部有$b$叶子的树的数量。然后，你的$N（h）$是$T（h，b）$中$b$的和。要得到树的高度$h+1$和底部$b$叶子，你可以选择树的高度为$h$，底部至少有$b/2$叶子，然后选择$b/2$leaves来悬挂新叶子。这给出了一个递归$$T（h+1，b）=\sum_{k=b/2}^{2^h}T（h，k）{k\choose b/2}$$我们有$T（3,2）=8，T（3,14）=8、T（3，6）=4、T（3，8）=1$，得出TravisJ引用的总计$21$。然后$T（4,2）=8\cdot 2+8\cdot 4+4\cdot 6+1\cdot 8=80，T（4,4）=8\cdot 1+8\cdot 6+4\cdot 15+1\cdot 28=144，T（4,6）=8\cdot 4+4\cdot 20+1\cdot 56=168，T（4,8）=8\cdot 1+4\cdot 15+1\cdot 70=138，T（4,10）=4\cdot 6+1\cdot 56=80，T（4,12）=4\cdot 1+1\cdot 28=32，T（4,14）=8，T（4,16）=1$，总计$N（4）=651$。序列如下OEIS A001699公司其中据说接近$1.5028368…^{（2^n）}$，并给出了一些参考。

Answer 4

让我们考虑构建高度最多为$h\geq 1$的完整二叉树的所有可能方法。根目录有$0$或$2$子目录，因此树可能只是一个节点。另一方面，根具有两个子级的完整二叉树的数量等于高度最多为$h-1$的完整二元树数量的平方。因此，我们得到了递归

\开始{align}N（0）&=1\\N（h）&=N（h-1）^2+1\text{if}h\geq 1\结束{对齐}

因此，$2^{2^{h-1}$是一个下限。另一方面，$2^{2^{2 h}}$是一个上限，因此复杂性是双指数的。我怀疑还有一个封闭的表单。

注意，$N（3）=26$与其他答案并不矛盾，因为他们认为树的高度正好是$h$。