具有奇长周期的排列

Question

作为一个家庭作业问题，我需要找到由偶数个奇长周期组成的$n$排列数的指数生成函数。我可以通过以下方式检索只有奇长周期的排列数的指数生成函数$$E（z）=\exp（\sum_{k\geq0}\frac{z^{2k+1}}{2k+1}{1-z}}。$$由于$n$具有偶数个奇长循环的置换，当且仅当它是偶数时，在这种情况下，所有具有奇长周期的置换都有偶数个循环，我认为我必须通过仅选择$z^n$中的项和$n$偶数来找到$E（z）$获得的幂级数。这是正确的吗？无论如何，我不知道该怎么做。

Answer 1

这里有两种可能的解释，第一种是排列由偶数个奇数循环和一些偶数循环组成第二，仅由偶数个奇数圈组成的排列。

第一种解释。观察奇数圈置换的生成函数标记为$$G（z，u）=\exp\左（sum{k\ge1}\frac{z^{2k}}{2k{+u\sum_{k\ge0}\frac{z^{2k+1}}{2k+1}\right）$$这是$$G（z，u）=\exp\左（（1-u）\sum{k\ge1}\frac{z^{2k}}{2k{+u \ sum_｛k \ ge 1｝\ frac｛z ^｛k｝｝｛k｝\ right）$$

要获得偶数个奇数循环的排列，请使用$$\压裂{1}{2}G（z，1）+\压裂{1'{2}G（z、-1）$$这就产生了$$\frac{1}{2}\exp\left（\sum_{k\ge1}\frac{z^{k}}{k}\right）+\压裂{1}{2}\exp\左（2\sum{k\ge1}\压裂{z^{2k}}{2k{-\sum_{k\ge1}\frac{z^{k}}{k}\right）$$

这简化为$$\压裂{1}{2}\压裂{1'{1-z}+\压裂{1}{2}（1-z）\压裂{1'{1-z^2}$$哪个是$$\压裂{1}{2}\压裂{1'{1-z}+\frac｛1｝｛2｝\frac｛1｝｛1+z｝$$

这只是说，当$n$为偶数时，必须有偶数奇数循环数，当$n$为奇数时，不能有偶数奇数周期数，随后是检查（奇偶校验）。

第二种解释。这里有$$G（z，u）=\exp\left（u\sum{k\ge0}\frac{z^{2k+1}}{2k+1}\right）$$这是$$G（z，u）=\exp\left（u\sum_｛k\ge 0｝\frac｛z^｛k｝｝｛k｝-u\sum_{k\ge1}\frac{z^{2k}}{2k{right）$$要获得偶数个奇数循环的排列，请使用$$\压裂{1}{2}G（z，1）+\压裂{1'{2}G（z、-1）$$这就产生了$$\压裂{1}{2}\压裂{1'{1-z}\左（\frac{1}{1-z^2}\右）^{-1/2}+\压裂{1}{2}（1-z）\左（\frac{1}{1-z^2}\右）^{1/2}$$

这给出了序列$$0, 1, 0, 9, 0, 225, 0, 11025, 0, 893025, 0, 108056025，0，18261468225，\ldot$$这让我们想到OEIS公司A177145, 我们发现这个计算得到了证实。

这个生成函数可以写成$$\压裂{1}{2}\压裂{1'{1-z}\方形{1-z^2}+\压裂{1}{2}（1-z）\裂缝{1}{\sqrt{1-z^2}}$$或$$\frac｛1｝｛2｝\sqrt｛\frac｛1+z｝｛1-z｝｝+\压裂{1}{2}\sqrt{\压裂{1-z}{1+z}}$$