Cauchy-Schwarz不等式与向量夹角

Question

让$\langlex，y\rangle=x\cdoty$成为$\mathbb{R}^n$上的标准点积。根据Cauchy-Schwarz不等式，对于$x，y$非零，我们有$$-1\leq\frac{langlex，y\rangle}{x\|y\|}\leq1$$

因此存在唯一的$\theta$，使得$\tos\theta$=上述不等式中的中间量。这个$\theta$被称为$x$和$y$之间的角度。

然而，在研究Cauchy-Schwarz不等式的证明时，我发现了一个证明，其过程如下：

由于$\cos\theta=\frac{langlex，y\rangle}{x\|y\|}$，取模，得到$\left|\langlex、y\range\right|\leq\|x\|y-|$，从而证明了Cauch-Schwarz不等式。

问题：这两种方法中哪一种是正确的？

（1） 首先证明Cauchy-Schwarz不等式并用它定义两个向量之间的夹角？

（2） 通过$\cos\theta=\frac{\langlex，y\rangle}{\|x\|y\|}$定义两个（非零）向量之间的角度，并用它证明Cauch-Schwarz不等式。

Answer 1

采用参数$\；a\in\Bbb R\；$，因为我们在一个真实的线性空间中，所以对于任意两个向量$；x、 y\；$：

$$0\stackrel{\text{axiom！}}\le\langle ax+y\，，\，ax+y\rangle=||x||^2a^2+2\langle x，y\range a+|y||^2$$

因此，上面是一个非负二次型在里面$\;a\；$因此，它的区别是非正的（即相应的抛物线最多在一点上与$；x$轴相交）：

$$\Delta=（2\langle x，y\rangle）^2-4||x||^2|y|^2\le0\暗示|\langle x，y\rangle |\le|x||\，||y||$$

这就是Cauchy-Schwarz-Buniakovski不等式，没有三角函数和其他东西，只有非常基本的代数。

即使现在在研究生院，我也觉得以上这些是最简单、最优雅的和基本在实际案例中证明了这个不等式。

Answer 2

这里有一个证据[-1,1]中的$$\frac{langlex，y\rangle}{x\|y\|}$$哪个是不使用Cauchy-Schwarz不等式。基本上，我们的想法是将其视为单位矩阵奇异值的变分特征，即其瑞利商。设$$f（x，y）=\frac｛\langle x，y\langle｝｛\|x\|y\|｝。$$然后，对于每个$x，y\neq0$，我们有$f（x，y）=f\left（\frac{x}{\|x\|}，\frac}y{\|y\|}\right）$。由于$f$在$S=\{（x，y）\mid\|x\|=\|y\|=1\}$上是平滑的，因此它在$S$上达到了最大值和最小值。$S$中$f$的所有临界点必须满足$$\nablaf（x，y）=0\iff\left\{\begin{array}{l}x=\langlex，y\rangley\\y=\langle x，y\ ranglex\end{arrays}\right。\iff\left\{begin{array}{ll}x=（langlex，y\rangle）^2x\\y=（langle x，y\ rangle。\iff\langle x，y\langle\in\｛-1，1｝$$关联的临界值为$\langle x，y\rangle$。因此，$f$的最小值为$-1$，最大值为$1$。

Answer 3

（2） 不正确。$\mathbb R^n$中两个向量之间的角度定义为基于Cauchy-Schwarz。你不能用它来证明它是基于什么。

Answer 4

我认为至少在$\mathbb{R}^3$中，可以将$\langlex，y\rangle=\lVerta\rVertb\rVert\cos\theta$作为定义，然后$$-1\le\frac{langle x，y\rangle}{\lVert a\rVert\lVert b\rVert}\le 1$$好吧。

但是你需要证明它是线性的（这很难）。这样你就得到了Cauchy-Schwarz不等式中乘积的解析形式。