指数分布MLE的渐近分布

Question

假设$X$具有参数$\theta$的指数分布（pdf是$f（X，\theta）=\thetae^{-\thetax}$）。我已经发现$n$个观察值之后$\theta$的MLE是$$\hat{\theta}_{MLE}=\bar{X}^{-1}=\frac{n}{\sum_{I=1}^n{X_I}}$$和$\bar{X}\tilde{}\Gamma（n，n\theta）$。

问题是推导直接地（即不使用MLE渐近行为的一般理论）$$\sqrtn（theta}_{MLE}-theta）的渐近分布$$作为$n\to\infty$。

根据一般理论（我不应该使用），我应该发现它是渐近的$N（0，I（θ）^{-1}）=N（0、θ^2）$。然而，我不知道从哪里开始——对于其他发行版，我可以使用CLT（如果他们的MLE是样本均值），但我想不出在这里做这件事的方法。

Answer 1

由于$\theta{}>{}0$，请使用delta方法也就是说，对于$X\sim\mbox{exp}\left（\theta\right）$i.i.d样本，样本的平均值为$\bar{十} _n（n）$是渐近正态分布的，因此$$\sqrt{n}\left（\bar{十} _n（n）{}-{}\θ^{-1}\右）{}\到{}N\左（0，θ^{-2}\右，。$$因此，函数$\displaystyle\frac{1}{\bar的一阶泰勒展开式{十} _n（n）}$，在渐近平均值$\displaystyle\frac｛1｝｛\theta｝$的“附近”，证明

$$\sqrt｛n｝（hat｛\theta｝_｛MLE｝-\theta）｛｝=｛｝\sqrt｛n｝（\frac｛1｝｛\bar{十} _n（n）}-\θ）\近似\θ^2\sqrt{n}\左（\bar{十} _n（n）{}-{}\ theta^{-1}\ right）{}\ sim{}N\ left（0，\theta^{2}\ rift）\，\nmbox{，as}N{}\ to{}\ infty，。$$ “$\approx$”意味着两边的随机变量的分布具有任意精度，可以更好地相互近似为$n{}到{}infty$。这个近似值可以变得严格。